東京科学大学　2026年度　前期日程　理系

第2問場合の数の解答・解説

パスカルの法則・二項係数の和・格子点の数え上げ・重複を除く当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/06時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1)パスカルの法則と、二項係数の縦の和の公式を示す

答どちらも階乗で書くか、パスカルの法則を使って差の形に直し、telescoping で示す

方針2つめの式は、パスカルの法則を「 $_{k} C_{r} =_{k + 1} C_{r + 1} -_{k} C_{r + 1}$ 」と差の形に読み替えると、足し合わせたときに次々打ち消し合う。

パスカルの法則。 階乗で書いて通分すると

_{n - 1} C_{r} +_{n - 1} C_{r - 1} = \frac{( n - 1 )! {( n - r ) + r }}{r ! ( n - r )!} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!} =_{n} C_{r}

縦の和。 パスカルの法則を $r + 1$ の位置で使うと $_{k + 1} C_{r + 1} =_{k} C_{r + 1} +_{k} C_{r}$ 、すなわち

_{k} C_{r} =_{k + 1} C_{r + 1} -_{k} C_{r + 1}

$k = r$ から $n$ まで足すと、隣どうしが打ち消し合って

\sum_{k = r}^{n}_{k} C_{r} =_{n + 1} C_{r + 1} -_{r} C_{r + 1} =_{n + 1} C_{r + 1}

（ $_{r} C_{r + 1} = 0$ 。）

(2) $x + y + z < n$ をみたす正の整数の点の個数を求める

答 $_{n - 1} C_{3} = \frac{( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 )}{6}$

方針和の値 $m$ で分けて数え、 $m$ について足す。そこで (1) の縦の和がそのまま効く。

$x + y + z = m$ をみたす正の整数の組は、仕切りの入れ方を考えて $_{m - 1} C_{2}$ 通り。 $x + y + z < n$ は $m = 3, 4, \dots, n - 1$ をすべて足すことなので

\sum_{m = 3}^{n - 1}_{m - 1} C_{2} = \sum_{k = 2}^{n - 2}_{k} C_{2} =_{n - 1} C_{3}

検算

$n = 4$ なら $x + y + z = 3$ の $(1, 1, 1)$ だけで $1$ 個、 $_{3} C_{3} = 1$ 。 $n = 5$ なら $1 + 3 = 4$ 個で $_{4} C_{3} = 4$ 。合う。

答案で省略しない方がよい点

$x, y, z$ は正の整数。 $0$ を許すと仕切りの数え方が変わる。

(3) $x + y + z = 3 n$ かつ $x < y < z$ をみたす点の個数を求める

答 $n$ が偶数のとき $\frac{3 n ^{2} - 6 n + 4}{4}$ 、 $n$ が奇数のとき $\frac{3 ( n - 1 ) ^{2}}{4}$

方針まず順序を無視して数え、2つ以上が等しい組を除いてから $3!$ で割る。等しい組の個数に $n$ の偶奇が効く。

$x + y + z = 3 n$ をみたす正の整数の組は $_{3 n - 1} C_{2}$ 通り。このうち $x = y$ となるのは $2 x + z = 3 n, x \geq 1, z \geq 1$ から $A = ⌊ \frac{3 n - 1}{2} ⌋$ 通り。 $y = z$ 、 $x = z$ も同数。

3つとも等しいのは $x = y = z = n$ の1通りだけ。包除原理で「2つ以上が等しい」組は $3 A - 2$ 通りなので

（相異なる順序つきの組） =_{3 n - 1} C_{2} - (3 A - 2)

$x < y < z$ はこれを $3! = 6$ で割ったもの。 $A$ を偶奇で書き分けると

$n$ が偶数 … $A = \frac{3 n - 2}{2}$ で、個数は $\frac{3 n ^{2} - 6 n + 4}{4}$
$n$ が奇数 … $A = \frac{3 n - 1}{2}$ で、個数は $\frac{3 ( n - 1 ) ^{2}}{4}$

検算

$n = 4$ なら $x + y + z = 12$ を相異なる3数に分ける方法で $(1, 2, 9), (1, 3, 8), (1, 4, 7), (1, 5, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (3, 4, 5)$ の $7$ 個。式も $\frac{48 - 24 + 4}{4} = 7$ 。 $n = 5$ は $12$ 個で $\frac{3 \cdot 16}{4} = 12$ 。