東京科学大学　2026年度　前期日程　理系

第1問整数・無理数の解答・解説

無理数と有理数係数の方程式・一意性の示し方・3乗根・次数の下がらない理由当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/06時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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答 $p = - 2 a, q = a^{2} - b^{2} n$

方針 $x - a = b n$ として根号を片側に寄せてから2乗すれば、有理数係数の2次式になる。一意性は、2つあると仮定して引き算すると1次式になることから。

x - a = b n ⟹ (x - a)^{2} = b^{2} n ⟹ x^{2} - 2 a x + a^{2} - b^{2} n = 0

$a, b, n$ は有理数（ $n$ は整数）なので $p = - 2 a, q = a^{2} - b^{2} n$ は有理数。

一意性。 $x^{2} + p x + q = 0$ と $x^{2} + p^{'} x + q^{'} = 0$ がともに成り立つとすると、引いて $(p - p^{'}) x + (q - q^{'}) = 0$ 。

もし $p \neq = p^{'}$ なら $x = - \frac{q - q ^{'}}{p - p ^{'}}$ となって $x$ が有理数になり、 $x$ が無理数であることに反する。よって $p = p^{'}$ 、続いて $q = q^{'}$ 。

答案で省略しない方がよい点

答 $p = - 3 a, q = 3 a^{2}, r = - (a^{3} + b^{3} n)$

方針求め方は (1) と同じで、3乗する。一意性は差をとると2次式になるので、「 $3 n$ は有理数係数の2次方程式をみたさない」という一段を挟む必要がある。

(x - a)^{3} = b^{3} n ⟹ x^{3} - 3 a x^{2} + 3 a^{2} x - a^{3} - b^{3} n = 0

一意性。 2組あるとして差をとると $A x^{2} + B x + C = 0$ （ $A, B, C$ は有理数）。 $t = 3 n$ 、 $x = a + b t$ （ $b \neq = 0$ 、 $t$ は無理数）を入れて $t$ について整理すると

A b^{2} t^{2} + (2 A ab + B b) t + (A a^{2} + B a + C) = 0

補題。 $t = 3 n$ が無理数なら、有理数 $α, β, γ$ で $α t^{2} + β t + γ = 0$ をみたすのは $α = β = γ = 0$ のときだけ。

$α = 0$ なら $β t + γ = 0$ 。 $β \neq = 0$ だと $t$ が有理数になるので $β = 0$ 、続いて $γ = 0$
$α \neq = 0$ なら $α = 1$ としてよく $t^{2} = - β t - γ$ 。両辺に $t$ を掛けて $t^{3} = n$ を使うと $(β^{2} - γ) t = n - β γ$
$β^{2} - γ \neq = 0$ なら $t$ が有理数になり矛盾。 $β^{2} - γ = 0$ なら $γ = β^{2}$ かつ $n = β γ = β^{3}$ となり、 $3 n = β$ が有理数で矛盾