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京都大学　2021年度　前期日程　理系

第5問図形と方程式の解答・解説

円周角・外心・垂心・軌跡当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $△ ABC$ の外心の座標を求める

答原点 $(0, 0)$

$BC$ の長さと $∠ BAC$ が決まっているので、正弦定理で外接円の半径が出る。外心は $BC$ の垂直二等分線（ $y$ 軸）上にあり、半径の条件から2か所に絞れる。 $∠ BAC < 9 0^{\circ}$ なので、 $A$ と同じ側のほうが外心である。

$BC = 23$ である。正弦定理より、外接円の半径を $R$ とすると

\frac{BC}{sin ∠ BAC} = 2 R ⟹ 2 R = \frac{2 3}{sin \frac{π}{3}} = \frac{2 3}{\frac{3}{2}} = 4 ⟹ R = 2

である。

位置を決める。 外心は $BC$ の垂直二等分線、すなわち $y$ 軸上にある。 $(0, k)$ とおくと $B$ までの距離が $2$ だから

3 + (k + 1)^{2} = 4 ⟹ (k + 1)^{2} = 1 ⟹ k = 0 または k = - 2

である。 $∠ BAC = \frac{π}{3} < \frac{π}{2}$ なので $A$ は優弧の上にあり、外心は $BC$ について $A$ と同じ側にある。 $A$ の $y$ 座標は正で、直線 $BC$ は $y = - 1$ だから、外心も $y > - 1$ の側、つまり $k = 0$ である。よって外心は

(0, 0)

である。実際 $OB = OC = 3 + 1 = 2$ で、 $A$ は円 $x^{2} + y^{2} = 4$ の $y > 0$ の部分を動く。

$A$ を円 $x^{2} + y^{2} = 4$ の上半分に $2000$ 点とると、 $∠ BAC$ はすべて $60.00000 0^{\circ}$ になった。 $OA = OB = OC = 2$ である。

$k = - 2$ のほうは、 $A$ が劣弧の上にある場合（このとき $∠ BAC = \frac{2 π}{3}$ ）に対応する。 $∠ BAC$ が鋭角か鈍角かで外心の側が変わる。

逆に、 $A$ が円 $x^{2} + y^{2} = 4$ の $y > 0$ の部分を動けば、円周角の定理から $∠ BAC = \frac{π}{3}$ がつねに成り立つ。これが (2) の前提になる。

(2) $A$ が条件をみたしながら動くときの $△ ABC$ の垂心の軌跡を求める

答円 $x^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ の $y > - 2$ の部分（両端 $(\pm 2, - 2)$ は除く）

外心を原点にとれたので、「垂心 $=$ 3頂点の位置ベクトルの和」が使える。 $B + C = (0, - 2)$ は定ベクトルなので、垂心は $A$ を $(0, - 2)$ だけ平行移動した点になる。

外心が原点 $O$ のとき、垂心 $H$ については

OH = OA + OB + OC

が成り立つ。実際、 $H^{'}$ をこの式で定めると

AH^{'} = OB + OC, BC = OC - OB

で、 $OB = OC$ より内積は $OC^{2} - OB^{2} = 0$ 、つまり $AH^{'} ⊥ BC$ である。同様に $BH^{'} ⊥ CA$ なので、 $H^{'}$ は垂心である。

計算する。 $B + C = (- 3 + 3, - 1 - 1) = (0, - 2)$ なので

H = A + (0, - 2)

である。 $A = (a_{1}, a_{2})$ は $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 4$ 、 $a_{2} > 0$ を動くので、 $H = (x, y)$ とおくと $a_{1} = x$ 、 $a_{2} = y + 2$ で

x^{2} + (y + 2)^{2} = 4, y + 2 > 0

である。逆に、この条件をみたす $(x, y)$ に対して $A = (x, y + 2)$ は条件 $(*)$ をみたすので、軌跡はこの全体である。すなわち

円 x^{2} + (y + 2)^{2} = 4 の y > - 2 の部分

（中心 $(0, - 2)$ 、半径 $2$ の円の上半分で、両端 $(\pm 2, - 2)$ は含まない）である。

外接円

x^{2} + y^{2} = 4

（薄い円）の上半分を

A

が動く。垂心

H = A + (0, - 2)

の軌跡は、円

x^{2} + (y + 2)^{2} = 4

の

y > - 2

の部分（濃い弧）。

$A$ を上半円に $2000$ 点とって $H = A + B + C$ を計算すると、すべて $x^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ をみたし、 $y$ の範囲は $- 1.996858$ から $0$ までだった（ $A = (0, 2)$ のとき $H = (0, 0)$ ）。

$OH = OA + OB + OC$ が使えるのは $O$ が外心のときである。(1) で外心が原点だと分かったことがそのまま効く。

両端 $(\pm 2, - 2)$ は $a_{2} = 0$ （ $A$ が $x$ 軸上）に対応し、条件「 $A$ の $y$ 座標は正」から外れる。開いた弧になる。

「軌跡を求めよ」なので逆も言う。 $y > - 2$ の各点が実際に垂心として現れることを確かめる。

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(1)△ABC の外心の座標を求める

(2)A が条件をみたしながら動くときの △ABC の垂心の軌跡を求める

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