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京都大学　2021年度　前期日程　理系

第6問整数／微分法の解答・解説

因数分解・対偶・平均値の定理・接線が原点を通る条件当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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問1 $n \geq 2$ の整数について、 $3^{n} - 2^{n}$ が素数ならば $n$ も素数であることを示す

答対偶を示す。 $n = ab$ （ $a, b \geq 2$ ）なら $3^{a} - 2^{a}$ が $3^{n} - 2^{n}$ の真の約数になる

対偶「 $n$ が合成数なら $3^{n} - 2^{n}$ は素数でない」を示す。 $x^{b} - y^{b}$ が $x - y$ で割り切れることを、 $x = 3^{a}$ 、 $y = 2^{a}$ に使えばよい。

対偶「 $n$ が合成数ならば $3^{n} - 2^{n}$ は素数でない」を示す。 $n = ab$ （ $2 \leq a < n$ 、 $b \geq 2$ ）とする。

$x = 3^{a}$ 、 $y = 2^{a}$ とおくと

3^{n} - 2^{n} = x^{b} - y^{b} = (x - y) (x^{b - 1} + x^{b - 2} y + \dots + y^{b - 1})

なので、 $3^{n} - 2^{n}$ は $d = 3^{a} - 2^{a}$ で割り切れる。

$d$ が真の約数であること。

$a \geq 2$ より $d = 3^{a} - 2^{a} \geq 3^{2} - 2^{2} = 5 > 1$ 。
$m \mapsto 3^{m} - 2^{m}$ は狭義増加である（ $(3^{m + 1} - 2^{m + 1}) - (3^{m} - 2^{m}) = 2 \cdot 3^{m} - 2^{m} > 0$ ）。 $a < n$ なので $d < 3^{n} - 2^{n}$ 。

よって $3^{n} - 2^{n}$ は $1$ でも自分自身でもない約数 $d$ をもち、素数ではない。対偶が示されたので、もとの命題も成り立つ。

逆は成り立たない。 $n = 7$ は素数だが $3^{7} - 2^{7} = 2187 - 128 = 2059 = 29 \times 71$ で素数ではない。

$2 \leq n \leq 40$ で $3^{n} - 2^{n}$ が素数になるのは $n = 2, 3, 5, 17, 29, 31$ だけで、いずれも素数である。合成数の $n$ では必ず合成数になっている。

$n$ が合成数のとき $n = ab$ と書けるが、 $a, b$ の両方が $2$ 以上であることを明記する。 $a = 1$ だと $d = 1$ になってしまう。

$d > 1$ と $d < 3^{n} - 2^{n}$ の両方を言う。片方だけでは「真の約数」にならない。

$3^{n} - 2^{n} > 0$ である（ $n \geq 1$ ）。負の数の素数判定を気にしなくてよい。

問2 $a > 1$ 、 $f$ は微分可能で $f (a) = a f (1)$ のとき、 $y = f (x)$ の接線で原点を通るものが存在することを示す

答 $g (x) = \frac{f ( x )}{x}$ に平均値の定理を使うと $g^{'} (t) = 0$ となる $t \in (1, a)$ があり、そこでの接線が原点を通る

点 $(t, f (t))$ での接線が原点を通る条件は $f (t) = t f^{'} (t)$ である。これは $\frac{f ( x )}{x}$ の導関数の分子なので、 $g (x) = \frac{f ( x )}{x}$ を考えればよい。条件 $f (a) = a f (1)$ は $g (a) = g (1)$ と同じことである。

接線が原点を通る条件。 $(t, f (t))$ での接線は $y = f^{'} (t) (x - t) + f (t)$ で、これが原点 $(0, 0)$ を通るのは

0 = - t f^{'} (t) + f (t) ⟺ f (t) = t f^{'} (t)

のときである。この $t$ が存在することを示せばよい。

$g (x) = \frac{f ( x )}{x}$ を考える。 $a > 1$ なので区間 $[1, a]$ では $x \geq 1 > 0$ であり、 $f$ が微分可能だから $g$ も $[1, a]$ で連続、 $(1, a)$ で微分可能である。また

g (1) = f (1), g (a) = \frac{f ( a )}{a} = \frac{a f ( 1 )}{a} = f (1)

なので $g (1) = g (a)$ である。

平均値の定理。 $g$ に平均値の定理を使うと、 $t \in (1, a)$ で

g^{'} (t) = \frac{g ( a ) - g ( 1 )}{a - 1} = 0

となるものが存在する。いっぽう

g^{'} (x) = \frac{f ^{'} ( x ) x - f ( x )}{x ^{2}}

なので、 $g^{'} (t) = 0$ は $t f^{'} (t) - f (t) = 0$ 、すなわち $f (t) = t f^{'} (t)$ を意味する（ $t > 0$ より分母は $0$ でない）。

したがって、点 $(t, f (t))$ での接線は原点を通る。そのような接線が存在することが示された。

$f (a) = a f (1)$ は「 $(1, f (1))$ と $(a, f (a))$ が原点から見て同じ向きにある」、つまり $\frac{f ( 1 )}{1} = \frac{f ( a )}{a}$ ということである。原点から見た傾きが両端で等しいので、途中で「原点を向いた接線」が必ず現れる、というのが図形的な意味である。

$f (a) = a f (1)$ をみたす2次式を $2000$ 個ランダムに作り、 $(1, a)$ で $f (t) - t f^{'} (t)$ の符号変化を調べると、すべての場合で零点が見つかった（反例 $0$ 件）。

$g (x) = \frac{f ( x )}{x}$ が $[1, a]$ で定義できるのは $a > 1 > 0$ だからである。 $0$ をまたぐ区間だと使えない。

接線が原点を通る条件を $f (t) = t f^{'} (t)$ と書き直すところが出発点である。 $\frac{f ( t )}{t} = f^{'} (t)$ （原点との傾き $=$ 接線の傾き）と見てもよい。

平均値の定理の結論は「 $t$ が存在する」であって、 $t$ を具体的に求めることはできない。存在を示せば十分である。

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問1n≥2 の整数について、3n−2n が素数ならば n も素数であることを示す

問2a>1、f は微分可能で f(a)=af(1) のとき、y=f(x) の接線で原点を通るものが存在することを示す

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