第3問複素数平面・極限の解答・解説

無限等比級数・複素数の等比数列・実部をとる・有理化当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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$n = 0 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n} cos \frac{nπ}{6}$ を求める

答 $\frac{14 + 3 3}{13}$

$cos$ は複素数の実部なので、 $z = \frac{1}{2} (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ とおくと、求める和は等比級数 $\sum z^{n}$ の実部である。 $∣ z ∣ = \frac{1}{2} < 1$ なので収束し、 $\frac{1}{1 - z}$ の実部を取るだけでよい。

$z = \frac{1}{2} (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ とおく。ド・モアブルの定理より

z^{n} = (\frac{1}{2})^{n} (cos \frac{nπ}{6} + i sin \frac{nπ}{6})

なので、求める和は $n = 0 \sum \infty z^{n}$ の実部である。 $∣ z ∣ = \frac{1}{2} < 1$ だからこの等比級数は収束し

n = 0 \sum \infty z^{n} = \frac{1}{1 - z}

である。

計算する。 $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ 、 $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ なので

z = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} i, 1 - z = \frac{4 - 3}{4} - \frac{1}{4} i

である。分母を実数化すると

∣ 1 - z ∣^{2} = \frac{( 4 - 3 ) ^{2} + 1}{16} = \frac{16 - 8 3 + 3 + 1}{16} = \frac{20 - 8 3}{16} = \frac{5 - 2 3}{4}

なので

Re \frac{1}{1 - z} = \frac{Re ( 1 - z )}{∣ 1 - z ∣ ^{2}} = \frac{\frac{4 - 3}{4}}{\frac{5 - 2 3}{4}} = \frac{4 - 3}{5 - 2 3}

である。分母を有理化して

\frac{( 4 - 3 ) ( 5 + 2 3 )}{( 5 - 2 3 ) ( 5 + 2 3 )} = \frac{20 + 8 3 - 5 3 - 6}{25 - 12} = \frac{14 + 3 3}{13}

を得る（ $1.4766$ ほど）。

実数のまま進めるなら、 $S = \sum r^{n} cos n θ$ 、 $T = \sum r^{n} sin n θ$ とおいて加法定理から連立方程式を作ってもよい。一般に $S = \frac{1 - r cos θ}{1 - 2 r cos θ + r ^{2}}$ で、 $r = \frac{1}{2}$ 、 $θ = \frac{π}{6}$ を入れると同じ値になる。

$n = 0$ から $399$ まで直接足すと $1.476627109439$ で、 $\frac{14 + 3 3}{13} = 1.476627109439$ と一致する。

$∣ z ∣ = \frac{1}{2} < 1$ を確かめてから $\frac{1}{1 - z}$ を使う。収束の確認は省かない。

実部を取るのは最後である。途中で $cos$ だけ追うと加法定理の計算が増える。

$∣ 1 - z ∣^{2}$ は $(Re)^{2} + (Im)^{2}$ である。 $1 - z$ の虚部は $- \frac{1}{4}$ で、2乗すれば符号は消える。

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n=0∑∞​(21​)ncos6nπ​ を求める

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