独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問1問・無料

京都大学　2021年度　前期日程　理系

第2問微分法の解答・解説

接線・線分の長さ・相加相乗平均・置き換え当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

$y = \frac{x ^{2} + 1}{2}$ 上の点 $P$ での接線が $x$ 軸と交わる点を $Q$ とするとき、 $L = PQ$ の最小値を求める

答 $L_{m i n} = \frac{3 3}{4}$

接点を $P (p, \frac{p ^{2} + 1}{2})$ とおくと、 $x$ 軸との交点がすぐ出る。 $L^{2}$ を計算すると $\frac{( p ^{2} + 1 ) ^{3}}{4 p ^{2}}$ という形になり、 $u = p^{2}$ とおけば1変数の最小値問題になる。

$y^{'} = x$ なので、 $P (p, \frac{p ^{2} + 1}{2})$ での接線は

y = p (x - p) + \frac{p ^{2} + 1}{2} = p x - \frac{p ^{2} - 1}{2}

である。 $x$ 軸と交わるには傾き $p \neq = 0$ が必要で、そのとき

Q (\frac{p ^{2} - 1}{2 p}, 0)

である。

$L^{2}$ を計算する。 $x$ 座標の差は

p - \frac{p ^{2} - 1}{2 p} = \frac{2 p ^{2} - p ^{2} + 1}{2 p} = \frac{p ^{2} + 1}{2 p}

なので

L^{2} = (\frac{p ^{2} + 1}{2 p})^{2} + (\frac{p ^{2} + 1}{2})^{2} = (\frac{p ^{2} + 1}{2})^{2} \cdot \frac{1 + p ^{2}}{p ^{2}} = \frac{( p ^{2} + 1 ) ^{3}}{4 p ^{2}}

である。

最小化。 $u = p^{2} > 0$ とおくと

L^{2} = \frac{( u + 1 ) ^{3}}{4 u} =: G (u)

で

G^{'} (u) = \frac{3 ( u + 1 ) ^{2} \cdot 4 u - ( u + 1 ) ^{3} \cdot 4}{16 u ^{2}} = \frac{( u + 1 ) ^{2} ( 2 u - 1 )}{4 u ^{2}}

である。 $u > 0$ では $(u + 1)^{2} > 0$ なので、 $G$ は $u < \frac{1}{2}$ で減少、 $u > \frac{1}{2}$ で増加し、 $u = \frac{1}{2}$ で最小になる。値は

G (\frac{1}{2}) = \frac{( \frac{3}{2} ) ^{3}}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{27}{8}}{2} = \frac{27}{16}

なので

L_{m i n} = \frac{27}{16} = \frac{3 3}{4}

である（ $p = \pm \frac{1}{2}$ のとき、 $1.2990$ ほど）。

y = \frac{x ^{2} + 1}{2}

と、

PQ

が最小になる接線（

p = \frac{1}{2}

）。

P (0.707, 0.75)

、

Q (- 0.354, 0)

で

L = \frac{3 3}{4} = 1.299

。

$p$ を $0$ から $3$ まで $400$ 万点動かして $PQ$ を座標から直接計算すると、最小は $1.299038106$ （ $p = 0.707106$ ）で、 $\frac{3 3}{4} = 1.299038106$ 、 $\frac{1}{2} = 0.707107$ と一致する。

「接線が $x$ 軸と交わる」ので $p \neq = 0$ である（ $p = 0$ だと接線 $y = \frac{1}{2}$ は $x$ 軸と平行）。問題文にその断りがあるので、 $p \neq = 0$ を前提にしてよい。

$L^{2}$ の形 $\frac{( p ^{2} + 1 ) ^{3}}{4 p ^{2}}$ まで整理してから $u = p^{2}$ とおく。 $p$ のまま微分すると式が重い。

$L$ ではなく $L^{2}$ を最小にする。 $L > 0$ なので同じ場所で最小になる。

2021年度の全6問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる京大理系数学 2027

京大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・112ページ・2026年8月2日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

y=2x2+1​ 上の点 P での接線が x 軸と交わる点を Q とするとき、L=PQ の最小値を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

$y = \frac{x ^{2} + 1}{2}$ 上の点 $P$ での接線が $x$ 軸と交わる点を $Q$ とするとき、 $L = PQ$ の最小値を求める