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京都大学　2021年度　前期日程　理系

第1問空間ベクトル／確率の解答・解説

平面に関する対称点・法線ベクトル・包除原理・初めて起こる確率当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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問1 $A (1, 0, 0)$ 、 $B (0, - 1, 0)$ 、 $C (0, 0, 2)$ を通る平面 $α$ に関して $P (1, 1, 1)$ と対称な点 $Q$ を求める

答 $Q (\frac{13}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9})$

3点が座標軸上にあるので、平面は切片形 $\frac{x}{1} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{2} = 1$ ですぐ書ける。あとは法線ベクトルの向きに $P$ から動かすだけで、 $Q = P + t n$ とおいて中点が平面上に乗る $t$ を決める。

$A, B, C$ はそれぞれ $x, y, z$ 軸上の点なので、平面 $α$ は切片形で

\frac{x}{1} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{2} = 1 ⟺ 2 x - 2 y + z = 2

と書ける。法線ベクトルは $n = (2, - 2, 1)$ で $∣ n ∣^{2} = 9$ である。

対称点を作る。 $PQ ⊥ α$ より $PQ = t n$ と書けるので $Q = (1 + 2 t, 1 - 2 t, 1 + t)$ である。中点

M = (1 + t, 1 - t, 1 + \frac{t}{2})

が $α$ 上にあるので

2 (1 + t) - 2 (1 - t) + (1 + \frac{t}{2}) = 2 ⟹ \frac{9}{2} t + 1 = 2 ⟹ t = \frac{2}{9}

である。よって

Q = (1 + \frac{4}{9}, 1 - \frac{4}{9}, 1 + \frac{2}{9}) = (\frac{13}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9})

である。

$P$ を平面に代入すると $2 - 2 + 1 = 1$ で、右辺 $2$ との差は $- 1$ である。公式 $Q = P - \frac{2 ( n \cdot P - d )}{∣ n ∣ ^{2}} n$ に入れても $t = \frac{2}{9}$ が出る。

$Q (\frac{13}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9})$ のとき中点は $(\frac{11}{9}, \frac{7}{9}, \frac{10}{9})$ で、 $2 \cdot \frac{11}{9} - 2 \cdot \frac{7}{9} + \frac{10}{9} = \frac{18}{9} = 2$ となり平面上にある。 $PQ = (\frac{4}{9}, - \frac{4}{9}, \frac{2}{9}) = \frac{2}{9} (2, - 2, 1)$ で法線と平行である。

切片形は「軸との交点が $(p, 0, 0), (0, q, 0), (0, 0, r)$ なら $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 1$ 」である。 $B$ の $y$ 切片が $- 1$ なので分母が $- 1$ になる。

$PQ = t n$ とおけるのは「 $PM$ が垂線」という条件そのものである。 $t$ は中点が平面上に乗る条件から決まる。

$t$ を求めたあと、 $Q = P + t n$ （中点ではない）に戻す。

問2 $n$ 回目に初めて赤玉が出て、その時点で4色すべてが記録済みになる確率を求める（ $n \geq 4$ ）

答 $\frac{3 ^{n - 1} - 3 \cdot 2 ^{n - 1} + 3}{4 ^{n}}$

条件は「 $n$ 回目が赤」かつ「最初の $n - 1$ 回が赤以外の3色だけで、しかも3色すべてが出る」である。後半は「3色で $n - 1$ 回、全色が出る」という典型的な包除原理の問題になる。

$n$ 回目に初めて赤が出るので、最初の $n - 1$ 回は白・青・黄のいずれかである。さらに $n$ 回目で4色そろうには、その $n - 1$ 回で白・青・黄がすべて出ていなければならない。

$n - 1$ 回で3色すべてが出る場合の数。 全部で $3^{n - 1}$ 通りのうち、少なくとも1色が出ないものを包除原理で引くと

3^{n - 1} -_{3} C_{1} \cdot 2^{n - 1} +_{3} C_{2} \cdot 1^{n - 1} = 3^{n - 1} - 3 \cdot 2^{n - 1} + 3

通りである（3色とも出ない場合は $0$ 通り）。 $n$ 回目は赤の1通りだから、条件をみたす記録の列は

3^{n - 1} - 3 \cdot 2^{n - 1} + 3 通り

である。各回の記録は4色が等確率なので、どの列も確率 $(\frac{1}{4})^{n}$ である。よって

P = \frac{3 ^{n - 1} - 3 \cdot 2 ^{n - 1} + 3}{4 ^{n}}

である。

$n = 4$ では $\frac{27 - 24 + 3}{256} = \frac{6}{256} = \frac{3}{128}$ で、最初の3回が白・青・黄の並べ替え（ $3! = 6$ 通り）、4回目が赤、という数え方と合う。

$n = 4, \dots, 8$ について $4^{n}$ 通りをすべて列挙すると、確率は $\frac{3}{128}, \frac{9}{256}, \frac{75}{2048}, \frac{135}{4096}, \frac{903}{32768}$ で、式の値と完全に一致する。

「4種類すべてが記録済み」は $n$ 回目を含めての話である。赤は $n$ 回目に出るので、残り3色が最初の $n - 1$ 回で出そろう必要がある。

玉は毎回戻すので、各回は独立で確率 $\frac{1}{4}$ ずつである。戻さない場合と混同しない。

包除原理の最後の項 $+_{3} C_{2} \cdot 1^{n - 1} = 3$ を落とさない。「2色が出ない」＝「1色だけ」の場合である。

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問1A(1,0,0)、B(0,−1,0)、C(0,0,2) を通る平面 α に関して P(1,1,1) と対称な点 Q を求める

問2n 回目に初めて赤玉が出て、その時点で4色すべてが記録済みになる確率を求める（n≥4）

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