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全6問・無料

京都大学　2021年度　前期日程　理系

京大理系 2021年度数学の解答・解説

全6問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　空間ベクトル／確率

平面に関する対称点・法線ベクトル・包除原理・初めて起こる確率当サイトの体感難易度：標準

問1 $A (1, 0, 0)$ 、 $B (0, - 1, 0)$ 、 $C (0, 0, 2)$ を通る平面 $α$ に関して $P (1, 1, 1)$ と対称な点 $Q$ を求める

答 $Q (\frac{13}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9})$

3点が座標軸上にあるので、平面は切片形 $\frac{x}{1} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{2} = 1$ ですぐ書ける。あとは法線ベクトルの向きに $P$ から動かすだけで、 $Q = P + t n$ とおいて中点が平面上に乗る $t$ を決める。

$A, B, C$ はそれぞれ $x, y, z$ 軸上の点なので、平面 $α$ は切片形で

\frac{x}{1} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{2} = 1 ⟺ 2 x - 2 y + z = 2

と書ける。法線ベクトルは $n = (2, - 2, 1)$ で $∣ n ∣^{2} = 9$ である。

対称点を作る。 $PQ ⊥ α$ より $PQ = t n$ と書けるので $Q = (1 + 2 t, 1 - 2 t, 1 + t)$ である。中点

M = (1 + t, 1 - t, 1 + \frac{t}{2})

が $α$ 上にあるので

2 (1 + t) - 2 (1 - t) + (1 + \frac{t}{2}) = 2 ⟹ \frac{9}{2} t + 1 = 2 ⟹ t = \frac{2}{9}

である。よって

Q = (1 + \frac{4}{9}, 1 - \frac{4}{9}, 1 + \frac{2}{9}) = (\frac{13}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9})

である。

$P$ を平面に代入すると $2 - 2 + 1 = 1$ で、右辺 $2$ との差は $- 1$ である。公式 $Q = P - \frac{2 ( n \cdot P - d )}{∣ n ∣ ^{2}} n$ に入れても $t = \frac{2}{9}$ が出る。

$Q (\frac{13}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9})$ のとき中点は $(\frac{11}{9}, \frac{7}{9}, \frac{10}{9})$ で、 $2 \cdot \frac{11}{9} - 2 \cdot \frac{7}{9} + \frac{10}{9} = \frac{18}{9} = 2$ となり平面上にある。 $PQ = (\frac{4}{9}, - \frac{4}{9}, \frac{2}{9}) = \frac{2}{9} (2, - 2, 1)$ で法線と平行である。

切片形は「軸との交点が $(p, 0, 0), (0, q, 0), (0, 0, r)$ なら $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 1$ 」である。 $B$ の $y$ 切片が $- 1$ なので分母が $- 1$ になる。

$PQ = t n$ とおけるのは「 $PM$ が垂線」という条件そのものである。 $t$ は中点が平面上に乗る条件から決まる。

$t$ を求めたあと、 $Q = P + t n$ （中点ではない）に戻す。

問2 $n$ 回目に初めて赤玉が出て、その時点で4色すべてが記録済みになる確率を求める（ $n \geq 4$ ）

答 $\frac{3 ^{n - 1} - 3 \cdot 2 ^{n - 1} + 3}{4 ^{n}}$

条件は「 $n$ 回目が赤」かつ「最初の $n - 1$ 回が赤以外の3色だけで、しかも3色すべてが出る」である。後半は「3色で $n - 1$ 回、全色が出る」という典型的な包除原理の問題になる。

$n$ 回目に初めて赤が出るので、最初の $n - 1$ 回は白・青・黄のいずれかである。さらに $n$ 回目で4色そろうには、その $n - 1$ 回で白・青・黄がすべて出ていなければならない。

$n - 1$ 回で3色すべてが出る場合の数。 全部で $3^{n - 1}$ 通りのうち、少なくとも1色が出ないものを包除原理で引くと

3^{n - 1} -_{3} C_{1} \cdot 2^{n - 1} +_{3} C_{2} \cdot 1^{n - 1} = 3^{n - 1} - 3 \cdot 2^{n - 1} + 3

通りである（3色とも出ない場合は $0$ 通り）。 $n$ 回目は赤の1通りだから、条件をみたす記録の列は

3^{n - 1} - 3 \cdot 2^{n - 1} + 3 通り

である。各回の記録は4色が等確率なので、どの列も確率 $(\frac{1}{4})^{n}$ である。よって

P = \frac{3 ^{n - 1} - 3 \cdot 2 ^{n - 1} + 3}{4 ^{n}}

である。

$n = 4$ では $\frac{27 - 24 + 3}{256} = \frac{6}{256} = \frac{3}{128}$ で、最初の3回が白・青・黄の並べ替え（ $3! = 6$ 通り）、4回目が赤、という数え方と合う。

$n = 4, \dots, 8$ について $4^{n}$ 通りをすべて列挙すると、確率は $\frac{3}{128}, \frac{9}{256}, \frac{75}{2048}, \frac{135}{4096}, \frac{903}{32768}$ で、式の値と完全に一致する。

「4種類すべてが記録済み」は $n$ 回目を含めての話である。赤は $n$ 回目に出るので、残り3色が最初の $n - 1$ 回で出そろう必要がある。

玉は毎回戻すので、各回は独立で確率 $\frac{1}{4}$ ずつである。戻さない場合と混同しない。

包除原理の最後の項 $+_{3} C_{2} \cdot 1^{n - 1} = 3$ を落とさない。「2色が出ない」＝「1色だけ」の場合である。

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第2問　微分法

接線・線分の長さ・相加相乗平均・置き換え当サイトの体感難易度：標準

$y = \frac{x ^{2} + 1}{2}$ 上の点 $P$ での接線が $x$ 軸と交わる点を $Q$ とするとき、 $L = PQ$ の最小値を求める

答 $L_{m i n} = \frac{3 3}{4}$

接点を $P (p, \frac{p ^{2} + 1}{2})$ とおくと、 $x$ 軸との交点がすぐ出る。 $L^{2}$ を計算すると $\frac{( p ^{2} + 1 ) ^{3}}{4 p ^{2}}$ という形になり、 $u = p^{2}$ とおけば1変数の最小値問題になる。

$y^{'} = x$ なので、 $P (p, \frac{p ^{2} + 1}{2})$ での接線は

y = p (x - p) + \frac{p ^{2} + 1}{2} = p x - \frac{p ^{2} - 1}{2}

である。 $x$ 軸と交わるには傾き $p \neq = 0$ が必要で、そのとき

Q (\frac{p ^{2} - 1}{2 p}, 0)

である。

$L^{2}$ を計算する。 $x$ 座標の差は

p - \frac{p ^{2} - 1}{2 p} = \frac{2 p ^{2} - p ^{2} + 1}{2 p} = \frac{p ^{2} + 1}{2 p}

なので

L^{2} = (\frac{p ^{2} + 1}{2 p})^{2} + (\frac{p ^{2} + 1}{2})^{2} = (\frac{p ^{2} + 1}{2})^{2} \cdot \frac{1 + p ^{2}}{p ^{2}} = \frac{( p ^{2} + 1 ) ^{3}}{4 p ^{2}}

である。

最小化。 $u = p^{2} > 0$ とおくと

L^{2} = \frac{( u + 1 ) ^{3}}{4 u} =: G (u)

で

G^{'} (u) = \frac{3 ( u + 1 ) ^{2} \cdot 4 u - ( u + 1 ) ^{3} \cdot 4}{16 u ^{2}} = \frac{( u + 1 ) ^{2} ( 2 u - 1 )}{4 u ^{2}}

である。 $u > 0$ では $(u + 1)^{2} > 0$ なので、 $G$ は $u < \frac{1}{2}$ で減少、 $u > \frac{1}{2}$ で増加し、 $u = \frac{1}{2}$ で最小になる。値は

G (\frac{1}{2}) = \frac{( \frac{3}{2} ) ^{3}}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{27}{8}}{2} = \frac{27}{16}

なので

L_{m i n} = \frac{27}{16} = \frac{3 3}{4}

である（ $p = \pm \frac{1}{2}$ のとき、 $1.2990$ ほど）。

y = \frac{x ^{2} + 1}{2}

と、

PQ

が最小になる接線（

p = \frac{1}{2}

）。

P (0.707, 0.75)

、

Q (- 0.354, 0)

で

L = \frac{3 3}{4} = 1.299

。

$p$ を $0$ から $3$ まで $400$ 万点動かして $PQ$ を座標から直接計算すると、最小は $1.299038106$ （ $p = 0.707106$ ）で、 $\frac{3 3}{4} = 1.299038106$ 、 $\frac{1}{2} = 0.707107$ と一致する。

「接線が $x$ 軸と交わる」ので $p \neq = 0$ である（ $p = 0$ だと接線 $y = \frac{1}{2}$ は $x$ 軸と平行）。問題文にその断りがあるので、 $p \neq = 0$ を前提にしてよい。

$L^{2}$ の形 $\frac{( p ^{2} + 1 ) ^{3}}{4 p ^{2}}$ まで整理してから $u = p^{2}$ とおく。 $p$ のまま微分すると式が重い。

$L$ ではなく $L^{2}$ を最小にする。 $L > 0$ なので同じ場所で最小になる。

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第3問　複素数平面・極限

無限等比級数・複素数の等比数列・実部をとる・有理化当サイトの体感難易度：標準

$n = 0 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n} cos \frac{nπ}{6}$ を求める

答 $\frac{14 + 3 3}{13}$

$cos$ は複素数の実部なので、 $z = \frac{1}{2} (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ とおくと、求める和は等比級数 $\sum z^{n}$ の実部である。 $∣ z ∣ = \frac{1}{2} < 1$ なので収束し、 $\frac{1}{1 - z}$ の実部を取るだけでよい。

$z = \frac{1}{2} (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ とおく。ド・モアブルの定理より

z^{n} = (\frac{1}{2})^{n} (cos \frac{nπ}{6} + i sin \frac{nπ}{6})

なので、求める和は $n = 0 \sum \infty z^{n}$ の実部である。 $∣ z ∣ = \frac{1}{2} < 1$ だからこの等比級数は収束し

n = 0 \sum \infty z^{n} = \frac{1}{1 - z}

である。

計算する。 $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ 、 $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ なので

z = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} i, 1 - z = \frac{4 - 3}{4} - \frac{1}{4} i

である。分母を実数化すると

∣ 1 - z ∣^{2} = \frac{( 4 - 3 ) ^{2} + 1}{16} = \frac{16 - 8 3 + 3 + 1}{16} = \frac{20 - 8 3}{16} = \frac{5 - 2 3}{4}

なので

Re \frac{1}{1 - z} = \frac{Re ( 1 - z )}{∣ 1 - z ∣ ^{2}} = \frac{\frac{4 - 3}{4}}{\frac{5 - 2 3}{4}} = \frac{4 - 3}{5 - 2 3}

である。分母を有理化して

\frac{( 4 - 3 ) ( 5 + 2 3 )}{( 5 - 2 3 ) ( 5 + 2 3 )} = \frac{20 + 8 3 - 5 3 - 6}{25 - 12} = \frac{14 + 3 3}{13}

を得る（ $1.4766$ ほど）。

実数のまま進めるなら、 $S = \sum r^{n} cos n θ$ 、 $T = \sum r^{n} sin n θ$ とおいて加法定理から連立方程式を作ってもよい。一般に $S = \frac{1 - r cos θ}{1 - 2 r cos θ + r ^{2}}$ で、 $r = \frac{1}{2}$ 、 $θ = \frac{π}{6}$ を入れると同じ値になる。

$n = 0$ から $399$ まで直接足すと $1.476627109439$ で、 $\frac{14 + 3 3}{13} = 1.476627109439$ と一致する。

$∣ z ∣ = \frac{1}{2} < 1$ を確かめてから $\frac{1}{1 - z}$ を使う。収束の確認は省かない。

実部を取るのは最後である。途中で $cos$ だけ追うと加法定理の計算が増える。

$∣ 1 - z ∣^{2}$ は $(Re)^{2} + (Im)^{2}$ である。 $1 - z$ の虚部は $- \frac{1}{4}$ で、2乗すれば符号は消える。

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第4問　積分法

曲線の長さ・半角の公式・1/cos の積分・置換積分当サイトの体感難易度：やや難

$y = lo g (1 + cos x)$ の $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ の部分の長さを求める

答 $2 lo g (1 + 2)$

$y^{'}$ を半角で書き直すのが決め手である。 $1 + cos x = 2 cos^{2} \frac{x}{2}$ 、 $sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$ を使うと $y^{'} = - tan \frac{x}{2}$ となり、 $1 + y^{' 2}$ が $\frac{1}{c o s ( x /2 )}$ になる。

$0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ では $1 + cos x > 0$ である。

y^{'} = \frac{- sin x}{1 + cos x} = \frac{- 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{2 cos ^{2} \frac{x}{2}} = - tan \frac{x}{2}

なので

1 + y^{' 2} = 1 + tan^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{cos \frac{x}{2}}

である（ $0 \leq \frac{x}{2} \leq \frac{π}{4}$ で $cos \frac{x}{2} > 0$ ）。よって長さは

ℓ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{cos \frac{x}{2}}

である。 $u = \frac{x}{2}$ （ $d x = 2 d u$ 、 $u : 0 \to \frac{π}{4}$ ）とおくと

ℓ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d u}{cos u}

である。

$\frac{1}{cos u}$ の積分。 分母分子に $cos u$ を掛けて $s = sin u$ とおくと

\int \frac{d u}{cos u} = \int \frac{cos u d u}{1 - sin ^{2} u} = \int \frac{d s}{1 - s ^{2}} = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + s}{1 - s}

である。 $u : 0 \to \frac{π}{4}$ で $s : 0 \to \frac{1}{2}$ だから

ℓ = 2 \cdot \frac{1}{2} [lo g \frac{1 + s}{1 - s}]_{0}^{\frac{1}{2}} = lo g \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = lo g \frac{2 + 1}{2 - 1}

である。分母を有理化すると $\frac{2 + 1}{2 - 1} = (2 + 1)^{2}$ なので

ℓ = lo g (1 + 2)^{2} = 2 lo g (1 + 2)

である（ $1.7627$ ほど）。

y = lo g (1 + cos x)

の

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

の部分。

x = 0

で

y = lo g 2 = 0.693

、

x = \frac{π}{2}

で

y = 0

。この弧の長さが

2 lo g (1 + 2) = 1.763

。

$400$ 万点の数値積分で $1.762747174$ となり、 $2 lo g (1 + 2) = 1.762747174$ と一致する。

$1 + tan^{2} θ = \frac{1}{∣ cos θ ∣}$ で、絶対値がつく。ここでは $0 \leq \frac{x}{2} \leq \frac{π}{4}$ なので外せる。

$\frac{1}{cos u}$ の積分は、 $cos u$ を掛けて $sin u$ で置換するのが定石である。 $lo g tan (\frac{u}{2} + \frac{π}{4})$ の公式を覚えていなくても出せる。

$\frac{2 + 1}{2 - 1} = (2 + 1)^{2}$ に気づくと、 $lo g$ の係数 $2$ がきれいに出る。

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第5問　図形と方程式

円周角・外心・垂心・軌跡当サイトの体感難易度：やや難

(1) $△ ABC$ の外心の座標を求める

答原点 $(0, 0)$

$BC$ の長さと $∠ BAC$ が決まっているので、正弦定理で外接円の半径が出る。外心は $BC$ の垂直二等分線（ $y$ 軸）上にあり、半径の条件から2か所に絞れる。 $∠ BAC < 9 0^{\circ}$ なので、 $A$ と同じ側のほうが外心である。

$BC = 23$ である。正弦定理より、外接円の半径を $R$ とすると

\frac{BC}{sin ∠ BAC} = 2 R ⟹ 2 R = \frac{2 3}{sin \frac{π}{3}} = \frac{2 3}{\frac{3}{2}} = 4 ⟹ R = 2

である。

位置を決める。 外心は $BC$ の垂直二等分線、すなわち $y$ 軸上にある。 $(0, k)$ とおくと $B$ までの距離が $2$ だから

3 + (k + 1)^{2} = 4 ⟹ (k + 1)^{2} = 1 ⟹ k = 0 または k = - 2

である。 $∠ BAC = \frac{π}{3} < \frac{π}{2}$ なので $A$ は優弧の上にあり、外心は $BC$ について $A$ と同じ側にある。 $A$ の $y$ 座標は正で、直線 $BC$ は $y = - 1$ だから、外心も $y > - 1$ の側、つまり $k = 0$ である。よって外心は

(0, 0)

である。実際 $OB = OC = 3 + 1 = 2$ で、 $A$ は円 $x^{2} + y^{2} = 4$ の $y > 0$ の部分を動く。

$A$ を円 $x^{2} + y^{2} = 4$ の上半分に $2000$ 点とると、 $∠ BAC$ はすべて $60.00000 0^{\circ}$ になった。 $OA = OB = OC = 2$ である。

$k = - 2$ のほうは、 $A$ が劣弧の上にある場合（このとき $∠ BAC = \frac{2 π}{3}$ ）に対応する。 $∠ BAC$ が鋭角か鈍角かで外心の側が変わる。

逆に、 $A$ が円 $x^{2} + y^{2} = 4$ の $y > 0$ の部分を動けば、円周角の定理から $∠ BAC = \frac{π}{3}$ がつねに成り立つ。これが (2) の前提になる。

(2) $A$ が条件をみたしながら動くときの $△ ABC$ の垂心の軌跡を求める

答円 $x^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ の $y > - 2$ の部分（両端 $(\pm 2, - 2)$ は除く）

外心を原点にとれたので、「垂心 $=$ 3頂点の位置ベクトルの和」が使える。 $B + C = (0, - 2)$ は定ベクトルなので、垂心は $A$ を $(0, - 2)$ だけ平行移動した点になる。

外心が原点 $O$ のとき、垂心 $H$ については

OH = OA + OB + OC

が成り立つ。実際、 $H^{'}$ をこの式で定めると

AH^{'} = OB + OC, BC = OC - OB

で、 $OB = OC$ より内積は $OC^{2} - OB^{2} = 0$ 、つまり $AH^{'} ⊥ BC$ である。同様に $BH^{'} ⊥ CA$ なので、 $H^{'}$ は垂心である。

計算する。 $B + C = (- 3 + 3, - 1 - 1) = (0, - 2)$ なので

H = A + (0, - 2)

である。 $A = (a_{1}, a_{2})$ は $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 4$ 、 $a_{2} > 0$ を動くので、 $H = (x, y)$ とおくと $a_{1} = x$ 、 $a_{2} = y + 2$ で

x^{2} + (y + 2)^{2} = 4, y + 2 > 0

である。逆に、この条件をみたす $(x, y)$ に対して $A = (x, y + 2)$ は条件 $(*)$ をみたすので、軌跡はこの全体である。すなわち

円 x^{2} + (y + 2)^{2} = 4 の y > - 2 の部分

（中心 $(0, - 2)$ 、半径 $2$ の円の上半分で、両端 $(\pm 2, - 2)$ は含まない）である。

外接円

x^{2} + y^{2} = 4

（薄い円）の上半分を

A

が動く。垂心

H = A + (0, - 2)

の軌跡は、円

x^{2} + (y + 2)^{2} = 4

の

y > - 2

の部分（濃い弧）。

$A$ を上半円に $2000$ 点とって $H = A + B + C$ を計算すると、すべて $x^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ をみたし、 $y$ の範囲は $- 1.996858$ から $0$ までだった（ $A = (0, 2)$ のとき $H = (0, 0)$ ）。

$OH = OA + OB + OC$ が使えるのは $O$ が外心のときである。(1) で外心が原点だと分かったことがそのまま効く。

両端 $(\pm 2, - 2)$ は $a_{2} = 0$ （ $A$ が $x$ 軸上）に対応し、条件「 $A$ の $y$ 座標は正」から外れる。開いた弧になる。

「軌跡を求めよ」なので逆も言う。 $y > - 2$ の各点が実際に垂心として現れることを確かめる。

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第6問　整数／微分法

因数分解・対偶・平均値の定理・接線が原点を通る条件当サイトの体感難易度：やや難

問1 $n \geq 2$ の整数について、 $3^{n} - 2^{n}$ が素数ならば $n$ も素数であることを示す

答対偶を示す。 $n = ab$ （ $a, b \geq 2$ ）なら $3^{a} - 2^{a}$ が $3^{n} - 2^{n}$ の真の約数になる

対偶「 $n$ が合成数なら $3^{n} - 2^{n}$ は素数でない」を示す。 $x^{b} - y^{b}$ が $x - y$ で割り切れることを、 $x = 3^{a}$ 、 $y = 2^{a}$ に使えばよい。

対偶「 $n$ が合成数ならば $3^{n} - 2^{n}$ は素数でない」を示す。 $n = ab$ （ $2 \leq a < n$ 、 $b \geq 2$ ）とする。

$x = 3^{a}$ 、 $y = 2^{a}$ とおくと

3^{n} - 2^{n} = x^{b} - y^{b} = (x - y) (x^{b - 1} + x^{b - 2} y + \dots + y^{b - 1})

なので、 $3^{n} - 2^{n}$ は $d = 3^{a} - 2^{a}$ で割り切れる。

$d$ が真の約数であること。

$a \geq 2$ より $d = 3^{a} - 2^{a} \geq 3^{2} - 2^{2} = 5 > 1$ 。
$m \mapsto 3^{m} - 2^{m}$ は狭義増加である（ $(3^{m + 1} - 2^{m + 1}) - (3^{m} - 2^{m}) = 2 \cdot 3^{m} - 2^{m} > 0$ ）。 $a < n$ なので $d < 3^{n} - 2^{n}$ 。

よって $3^{n} - 2^{n}$ は $1$ でも自分自身でもない約数 $d$ をもち、素数ではない。対偶が示されたので、もとの命題も成り立つ。

逆は成り立たない。 $n = 7$ は素数だが $3^{7} - 2^{7} = 2187 - 128 = 2059 = 29 \times 71$ で素数ではない。

$2 \leq n \leq 40$ で $3^{n} - 2^{n}$ が素数になるのは $n = 2, 3, 5, 17, 29, 31$ だけで、いずれも素数である。合成数の $n$ では必ず合成数になっている。

$n$ が合成数のとき $n = ab$ と書けるが、 $a, b$ の両方が $2$ 以上であることを明記する。 $a = 1$ だと $d = 1$ になってしまう。

$d > 1$ と $d < 3^{n} - 2^{n}$ の両方を言う。片方だけでは「真の約数」にならない。

$3^{n} - 2^{n} > 0$ である（ $n \geq 1$ ）。負の数の素数判定を気にしなくてよい。

問2 $a > 1$ 、 $f$ は微分可能で $f (a) = a f (1)$ のとき、 $y = f (x)$ の接線で原点を通るものが存在することを示す

答 $g (x) = \frac{f ( x )}{x}$ に平均値の定理を使うと $g^{'} (t) = 0$ となる $t \in (1, a)$ があり、そこでの接線が原点を通る

点 $(t, f (t))$ での接線が原点を通る条件は $f (t) = t f^{'} (t)$ である。これは $\frac{f ( x )}{x}$ の導関数の分子なので、 $g (x) = \frac{f ( x )}{x}$ を考えればよい。条件 $f (a) = a f (1)$ は $g (a) = g (1)$ と同じことである。

接線が原点を通る条件。 $(t, f (t))$ での接線は $y = f^{'} (t) (x - t) + f (t)$ で、これが原点 $(0, 0)$ を通るのは

0 = - t f^{'} (t) + f (t) ⟺ f (t) = t f^{'} (t)

のときである。この $t$ が存在することを示せばよい。

$g (x) = \frac{f ( x )}{x}$ を考える。 $a > 1$ なので区間 $[1, a]$ では $x \geq 1 > 0$ であり、 $f$ が微分可能だから $g$ も $[1, a]$ で連続、 $(1, a)$ で微分可能である。また

g (1) = f (1), g (a) = \frac{f ( a )}{a} = \frac{a f ( 1 )}{a} = f (1)

なので $g (1) = g (a)$ である。

平均値の定理。 $g$ に平均値の定理を使うと、 $t \in (1, a)$ で

g^{'} (t) = \frac{g ( a ) - g ( 1 )}{a - 1} = 0

となるものが存在する。いっぽう

g^{'} (x) = \frac{f ^{'} ( x ) x - f ( x )}{x ^{2}}

なので、 $g^{'} (t) = 0$ は $t f^{'} (t) - f (t) = 0$ 、すなわち $f (t) = t f^{'} (t)$ を意味する（ $t > 0$ より分母は $0$ でない）。

したがって、点 $(t, f (t))$ での接線は原点を通る。そのような接線が存在することが示された。

$f (a) = a f (1)$ は「 $(1, f (1))$ と $(a, f (a))$ が原点から見て同じ向きにある」、つまり $\frac{f ( 1 )}{1} = \frac{f ( a )}{a}$ ということである。原点から見た傾きが両端で等しいので、途中で「原点を向いた接線」が必ず現れる、というのが図形的な意味である。

$f (a) = a f (1)$ をみたす2次式を $2000$ 個ランダムに作り、 $(1, a)$ で $f (t) - t f^{'} (t)$ の符号変化を調べると、すべての場合で零点が見つかった（反例 $0$ 件）。

$g (x) = \frac{f ( x )}{x}$ が $[1, a]$ で定義できるのは $a > 1 > 0$ だからである。 $0$ をまたぐ区間だと使えない。

接線が原点を通る条件を $f (t) = t f^{'} (t)$ と書き直すところが出発点である。 $\frac{f ( t )}{t} = f^{'} (t)$ （原点との傾き $=$ 接線の傾き）と見てもよい。

平均値の定理の結論は「 $t$ が存在する」であって、 $t$ を具体的に求めることはできない。存在を示せば十分である。

第6問だけのページ

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問題文について

問1A(1,0,0)、B(0,−1,0)、C(0,0,2) を通る平面 α に関して P(1,1,1) と対称な点 Q を求める

問2n 回目に初めて赤玉が出て、その時点で4色すべてが記録済みになる確率を求める（n≥4）

y=2x2+1​ 上の点 P での接線が x 軸と交わる点を Q とするとき、L=PQ の最小値を求める

n=0∑∞​(21​)ncos6nπ​ を求める

y=log(1+cosx) の 0≤x≤2π​ の部分の長さを求める

(1)△ABC の外心の座標を求める

(2)A が条件をみたしながら動くときの △ABC の垂心の軌跡を求める

問1n≥2 の整数について、3n−2n が素数ならば n も素数であることを示す

問2a>1、f は微分可能で f(a)=af(1) のとき、y=f(x) の接線で原点を通るものが存在することを示す

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問1 $A (1, 0, 0)$ 、 $B (0, - 1, 0)$ 、 $C (0, 0, 2)$ を通る平面 $α$ に関して $P (1, 1, 1)$ と対称な点 $Q$ を求める

問2 $n$ 回目に初めて赤玉が出て、その時点で4色すべてが記録済みになる確率を求める（ $n \geq 4$ ）

$y = \frac{x ^{2} + 1}{2}$ 上の点 $P$ での接線が $x$ 軸と交わる点を $Q$ とするとき、 $L = PQ$ の最小値を求める

$n = 0 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n} cos \frac{nπ}{6}$ を求める

$y = lo g (1 + cos x)$ の $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ の部分の長さを求める

(1) $△ ABC$ の外心の座標を求める

(2) $A$ が条件をみたしながら動くときの $△ ABC$ の垂心の軌跡を求める

問1 $n \geq 2$ の整数について、 $3^{n} - 2^{n}$ が素数ならば $n$ も素数であることを示す

問2 $a > 1$ 、 $f$ は微分可能で $f (a) = a f (1)$ のとき、 $y = f (x)$ の接線で原点を通るものが存在することを示す