独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問1問・無料

京都大学　2021年度　前期日程　理系

第4問積分法の解答・解説

曲線の長さ・半角の公式・1/cos の積分・置換積分当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

$y = lo g (1 + cos x)$ の $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ の部分の長さを求める

答 $2 lo g (1 + 2)$

$y^{'}$ を半角で書き直すのが決め手である。 $1 + cos x = 2 cos^{2} \frac{x}{2}$ 、 $sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$ を使うと $y^{'} = - tan \frac{x}{2}$ となり、 $1 + y^{' 2}$ が $\frac{1}{c o s ( x /2 )}$ になる。

$0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ では $1 + cos x > 0$ である。

y^{'} = \frac{- sin x}{1 + cos x} = \frac{- 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{2 cos ^{2} \frac{x}{2}} = - tan \frac{x}{2}

なので

1 + y^{' 2} = 1 + tan^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{cos \frac{x}{2}}

である（ $0 \leq \frac{x}{2} \leq \frac{π}{4}$ で $cos \frac{x}{2} > 0$ ）。よって長さは

ℓ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{cos \frac{x}{2}}

である。 $u = \frac{x}{2}$ （ $d x = 2 d u$ 、 $u : 0 \to \frac{π}{4}$ ）とおくと

ℓ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d u}{cos u}

である。

$\frac{1}{cos u}$ の積分。 分母分子に $cos u$ を掛けて $s = sin u$ とおくと

\int \frac{d u}{cos u} = \int \frac{cos u d u}{1 - sin ^{2} u} = \int \frac{d s}{1 - s ^{2}} = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + s}{1 - s}

である。 $u : 0 \to \frac{π}{4}$ で $s : 0 \to \frac{1}{2}$ だから

ℓ = 2 \cdot \frac{1}{2} [lo g \frac{1 + s}{1 - s}]_{0}^{\frac{1}{2}} = lo g \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = lo g \frac{2 + 1}{2 - 1}

である。分母を有理化すると $\frac{2 + 1}{2 - 1} = (2 + 1)^{2}$ なので

ℓ = lo g (1 + 2)^{2} = 2 lo g (1 + 2)

である（ $1.7627$ ほど）。

y = lo g (1 + cos x)

の

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

の部分。

x = 0

で

y = lo g 2 = 0.693

、

x = \frac{π}{2}

で

y = 0

。この弧の長さが

2 lo g (1 + 2) = 1.763

。

$400$ 万点の数値積分で $1.762747174$ となり、 $2 lo g (1 + 2) = 1.762747174$ と一致する。

$1 + tan^{2} θ = \frac{1}{∣ cos θ ∣}$ で、絶対値がつく。ここでは $0 \leq \frac{x}{2} \leq \frac{π}{4}$ なので外せる。

$\frac{1}{cos u}$ の積分は、 $cos u$ を掛けて $sin u$ で置換するのが定石である。 $lo g tan (\frac{u}{2} + \frac{π}{4})$ の公式を覚えていなくても出せる。

$\frac{2 + 1}{2 - 1} = (2 + 1)^{2}$ に気づくと、 $lo g$ の係数 $2$ がきれいに出る。

2021年度の全6問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる京大理系数学 2027

京大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・112ページ・2026年8月2日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

y=log(1+cosx) の 0≤x≤2π​ の部分の長さを求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

$y = lo g (1 + cos x)$ の $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ の部分の長さを求める