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一橋大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　全学部

一橋大 2025年度数学第4問（空間ベクトル）の解答・解説

一橋大学（一橋大）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・全学部入試の数学第4問（分野：空間ベクトル）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「空間内の扇形領域・ベクトルのなす角・2半直線に接する円・角の二等分線ベクトル」を扱います。

出題テーマ：空間内の扇形領域・ベクトルのなす角・2半直線に接する円・角の二等分線ベクトル当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。全学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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$A (0, 3, - 5), B (5, - 2, 10)$ に対し $OP = s {(1 - t) OA + t OB} (s ≧ 0, \frac{1}{5} ≦ t ≦ \frac{3}{5})$ が定める領域 $D$ に含まれる半径 $102$ の円のうち、中心と原点の距離が最小となる円の中心の座標を求める

答 $(14, 10, 2)$

$t = \frac{1}{5}$ と $t = \frac{3}{5}$ に対応する2本の半直線の方向ベクトルと単位ベクトルを求め、角の二等分線上に円の中心をとる。

$v (t) = (1 - t) OA + t OB$ とおくと、 $\frac{1}{5} ≦ t ≦ \frac{3}{5}$ の両端は

v_{1} v_{2} = v (\frac{1}{5}) = \frac{4}{5} (0, 3, - 5) + \frac{1}{5} (5, - 2, 10) = (1, 2, - 2), = v (\frac{3}{5}) = \frac{2}{5} (0, 3, - 5) + \frac{3}{5} (5, - 2, 10) = (3, 0, 4)

である。したがって、 $s ≧ 0, \frac{1}{5} ≦ t ≦ \frac{3}{5}$ で点 $P$ が動く領域 $D$ は、平面 $OAB$ 上で原点 $O$ から出る2本の半直線 $s v_{1} (s ≧ 0)$ と $s v_{2} (s ≧ 0)$ の間の角領域である。

$∣ v_{1} ∣ = 1 + 4 + 4 = 3, ∣ v_{2} ∣ = 9 + 0 + 16 = 5$ だから、それぞれの方向の単位ベクトルは

u_{1} = \frac{1}{3} v_{1} = \frac{1}{3} (1, 2, - 2), u_{2} = \frac{1}{5} v_{2} = \frac{1}{5} (3, 0, 4)

である。2本の半直線のなす角を $θ (0 < θ < π)$ とすると

cos θ = u_{1} \cdot u_{2} = \frac{3 + 0 - 8}{15} = - \frac{1}{3}

である。半角の公式より

sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{2}{3}, cos \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{3}

となる。領域 $D$ に含まれる半径 $R = 102$ の円の中心 $M$ が原点 $O$ に最も近づくのは、円が2本の境界半直線の両方に接するときであり、このとき $M$ は $∠ θ$ の二等分線上にあり

OM = \frac{R}{sin \frac{θ}{2}} = \frac{10 2}{\frac{2}{3}} = 103

である。一方、 $u_{1} + u_{2}$ は角の二等分線方向のベクトルで、その大きさは

∣ u_{1} + u_{2} ∣ = 1 + 1 + 2 cos θ = 2 cos \frac{θ}{2} = \frac{2}{3}

だから、求める中心 $M$ の位置ベクトルは

OM = OM \cdot \frac{u _{1} + u _{2}}{∣ u _{1} + u _{2} ∣} = 103 \cdot \frac{3}{2} (u_{1} + u_{2}) = 15 (u_{1} + u_{2}) = 5 v_{1} + 3 v_{2} = 5 (1, 2, - 2) + 3 (3, 0, 4) = (14, 10, 2)

である。

$OM = (14, 10, 2)$ と $u_{1} = \frac{1}{3} (1, 2, - 2)$ の内積は $\frac{14 + 20 - 4}{3} = 10$ で、 $OM^{2} = 196 + 100 + 4 = 300$ から垂線の長さの2乗は $300 - 1 0^{2} = 200 = (102)^{2}$ となり一致する。

角の二等分線は $v_{1} + v_{2}$ ではなく、長さを $1$ にそろえた単位ベクトルの和 $u_{1} + u_{2}$ の方向である。

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