第1問 空間図形の解答・解説

$|\mathrm{OP}|=\sqrt{1+0+3}=2$ なので、$\mathrm{OP}$ 方向の単位ベクトルは $\vec{u}=\left(\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

中心から距離 $d$ の位置で切ると、切り口の円の半径は $\sqrt{9-d^2}$。これが $1$ だから $d^2=8$、$d=2\sqrt{2}$。

$z$ 座標の符号で振り分けて、$C_1$ の中心が $(\sqrt{2},0,\sqrt{6})$、$C_2$ の中心が $(-\sqrt{2},0,-\sqrt{6})$。

点 $\mathrm{X}(x,y,z)$ から直線 $\mathrm{OP}$ までの距離の2乗は $|\mathrm{X}{|}^2-(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\cdot \vec{u}{)}^2$。側面はこれが $1$ だから

$z=0$ を代入すると

$\frac{x^2}{{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$ と書けるので、$x$ 軸方向に $\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}=1.1547\dots$、$y$ 軸方向に $1$ のだ円。長軸は $x$ 軸方向。