九州大学　2026年度　前期日程　理科系

第2問複素数平面の解答・解説

z+1/z の像・双曲線・回転体の体積・軸に垂直な断面当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は九州大学が公開しています。

掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

答双曲線 $x^{2} - y^{2} = 2$ のうち、 $x > 0$ かつ $- 1 \leq y \leq 1$ の部分（ $(3, - 1)$ から頂点 $(2, 0)$ を通って $(3, 1)$ までの弧）

方針 $z \neq = 0$ なので $w = z + \frac{1}{z}$ 。 $z = t (1 + i)$ を入れて実部と虚部に分けると、和と差がきれいな形になり、掛け合わせると $t$ が消える。

$t > 0$ より $z \neq = 0$ で、 $z^{2} - w z + 1 = 0$ から $w = z + \frac{1}{z}$ 。 $z = t (1 + i)$ を入れると

w = t (1 + i) + \frac{1 - i}{2 t} = X (t + \frac{1}{2 t}) + i Y (t - \frac{1}{2 t})

$X + Y = 2 t, X - Y = \frac{1}{t}$ だから、掛けて

X^{2} - Y^{2} = (X + Y) (X - Y) = 2 t \cdot \frac{1}{t} = 2

範囲を調べる。 $t_{1} = \frac{3 - 1}{2}, t_{2} = \frac{3 + 1}{2}$ とおくと $t_{1} t_{2} = \frac{1}{2}$ 、つまり $\frac{1}{2 t _{1}} = t_{2}$ 。よって

$X = 2 + Y^{2} > 0$ なので右側の分枝。 $Y = 0$ （ $t = \frac{1}{2}$ ）で頂点 $(2, 0)$ を通る。

検算

$t_{1} t_{2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$ がこの問題の仕掛け。両端で $X$ が同じ $3$ になり、 $Y$ がちょうど $\pm 1$ で対称になる。

答案で省略しない方がよい点

$X + Y$ と $X - Y$ を作ると $t$ が1つずつ残り、掛けるだけで消える。実部・虚部を2乗して足し引きするより早い。
$Y$ の端点を $t_{1}, t_{2}$ で確かめる。 $t_{1} t_{2} = \frac{1}{2}$ に気づかないと $\pm 1$ が出てこない。

答 $\frac{8 π}{3}$

方針虚軸（ $y$ 軸）のまわりなので、 $y$ で輪切りにする。各 $y$ での断面は、内側が線分、外側が双曲線の円環になる。

$P_{1} (3, 1), P_{2} (3, - 1)$ 。線分 $O P_{1}$ は $x = 3 y (0 \leq y \leq 1)$ 、線分 $O P_{2}$ は $x = - 3 y (- 1 \leq y \leq 0)$ 。まとめて $x = 3 ∣ y ∣$ 。

外側は $C$ で $x = 2 + y^{2}$ 。よって高さ $y$ での断面は、内半径 $3 ∣ y ∣$ 、外半径 $2 + y^{2}$ の円環。

V = \int_{- 1}^{1} π {(2 + y^{2}) - 3 y^{2}} d y = 2 π \int_{0}^{1} (2 - 2 y^{2}) d y

= 2 π [2 y - \frac{2 y ^{3}}{3}]_{0}^{1} = 2 π \cdot \frac{4}{3} = \frac{8 π}{3}

検算

$y = \pm 1$ で内半径と外半径がどちらも $3$ になり、断面が潰れる。領域が $P_{1}, P_{2}$ で閉じていることと合う。数値積分でも $8 π /3 = 8.3776 \dots$ になる。

答案で省略しない方がよい点

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