九州大学　2026年度　前期日程　理科系

第3問確率・漸化式の解答・解説

最初の1回で分ける・3項間漸化式・特性方程式・等比数列との差当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/06

問題文について

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掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $p_{1}, p_{2}$ を求める

答 $p_{1} = (1 - r)^{3}, p_{2} = (1 - r)^{4}$

方針玉の位置は、先頭から順に投げた結果で決まっていく。左から数えて何番目が黒かは、そこまでに置かれた玉の個数で決まる。

$p_{1}$ は1,2,3番目がすべて黒。黒は1回の裏で1個ずつ置かれるので、最初の3回がすべて裏であることと同じ。よって $(1 - r)^{3}$ 。

$p_{2}$ は2,3,4番目が黒。1回目が表だと1,2番目が白になって2番目が黒にならないので、1回目は裏。そのあとは「1,2,3番目が黒」と同じ状況だから

p_{2} = (1 - r) p_{1} = (1 - r)^{4}

答案で省略しない方がよい点

表を出すと玉が2個置かれる。何回目の投げが何番目の玉になるかは、表の回数で変わる。

(2)1, $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ 番目がすべて黒である確率を $p_{n - 1}$ で表す

答 $(1 - r) p_{n - 1}$

方針1番目が黒 ⟺ 1回目が裏。そのあとの列は同じ規則の新しい列とみなせて、全体の $n$ 番目が新しい列の $n - 1$ 番目になる。

1番目が黒になるのは1回目が裏のときだけで、確率 $1 - r$ 。このとき玉が1個置かれているので、2番目以降は、新しく始めた列の1番目以降と同じ。

全体の $n, n + 1, n + 2$ 番目は、新しい列の $n - 1, n, n + 1$ 番目にあたる。これがすべて黒である確率は $p_{n - 1}$ 。2回目以降の投げは1回目と独立だから

(1 - r) p_{n - 1}

(3) $n \geq 3$ のとき $p_{n}$ を $p_{n - 2}, p_{n - 1}$ で表す

答 $p_{n} = (1 - r) p_{n - 1} + r p_{n - 2}$

方針1番目が黒か白かで分ける。黒なら (2) がそのまま使え、白なら玉が2個進むので添字が2つ下がる。

1番目が黒（1回目が裏、確率 $1 - r$ ）… (2) より寄与は $(1 - r) p_{n - 1}$
1番目が白（1回目が表、確率 $r$ ）… 1,2番目が白で埋まる。 $n, n + 1, n + 2$ 番目は新しい列の $n - 2, n - 1, n$ 番目にあたるので、寄与は $r p_{n - 2}$

p_{n} = (1 - r) p_{n - 1} + r p_{n - 2} (n \geq 3)

答案で省略しない方がよい点

表のときは玉が2個置かれるので、添字は1つではなく2つ下がる。ここが $p_{n - 2}$ の出どころ。

(4) $p_{n}$ を求める

答 $p_{n} = \frac{( 1 - r ) ^{3} { 1 - ( - r ) ^{n} }}{1 + r}$

方針特性方程式が $x^{2} - (1 - r) x - r = 0$ 、つまり $(x - 1) (x + r) = 0$ と因数分解できる。解が $1$ と $- r$ なので、一般項は定数＋等比の形。

x^{2} - (1 - r) x - r = (x - 1) (x + r) = 0 ⟹ x = 1, - r

$p_{n} = A + B (- r)^{n}$ とおいて $p_{1}, p_{2}$ を入れ、差をとる。

p_{2} - p_{1} = B {(- r)^{2} - (- r)} = B r (1 + r)

一方 $p_{2} - p_{1} = (1 - r)^{4} - (1 - r)^{3} = - r (1 - r)^{3}$ だから、見比べて

B = - \frac{( 1 - r ) ^{3}}{1 + r}, A = p_{1} + B r = \frac{( 1 - r ) ^{3}}{1 + r}

よって

p_{n} = \frac{( 1 - r ) ^{3}}{1 + r} {1 - (- r)^{n}}

検算

$n = 1$ で $\frac{( 1 - r ) ^{3}}{1 + r} (1 + r) = (1 - r)^{3}$ 、 $n = 2$ で $\frac{( 1 - r ) ^{3}}{1 + r} (1 - r^{2}) = (1 - r)^{4}$ 。どちらも (1) と合う。 $n = 3$ は $(1 - r)^{3} (1 - r + r^{2})$ で、漸化式から出る値とも一致する。