第4問 整数・無理数の解答・解説

両辺とも正なので $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$。

$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が有理数だとすると、${\alpha }^2=5+2\sqrt{6}$ も有理数。すると $\sqrt{6}=\frac{{\alpha }^2-5}{2}$ も有理数になり、$\sqrt{6}$ が無理数であることに反する。

$x^2=X$ とおくと $X^2-10X+1=0$ から $X=5\pm 2\sqrt{6}$。(1) と同じ形なので

（${\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2=5-2\sqrt{6}$ で、$\sqrt{3}>\sqrt{2}$ だから正。）よって解は $\pm (\sqrt{2}+\sqrt{3})$ と $\pm (\sqrt{3}-\sqrt{2})$ の4つ。

2次の係数で割って $x^2+px+q=0$（$p,q$ は有理数）としてよい。$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を代入し、${\alpha }^2=5+2\sqrt{6}$ を使うと

$p=0$ のとき。 $2\sqrt{6}=s$ となり $\sqrt{6}$ が有理数。矛盾。

$p\ne 0$ のとき。 $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac{s-2\sqrt{6}}{p}$ の両辺を2乗して $5+2\sqrt{6}=\frac{s^2+24-4s\sqrt{6}}{p^2}$、整理すると

1. $2p^2+4s\ne 0$ なら $\sqrt{6}$ が有理数になり矛盾
2. $2p^2+4s=0$ なら右辺も $0$。$s=-\frac{p^2}{2}$ を代入して $p^4-20p^2+96=0$、すなわち $p^2=12$ または $8$

$p^2=12,8$ はいずれも有理数の平方ではない（$p=\pm 2\sqrt{3},\pm 2\sqrt{2}$）ので、$p$ が有理数であることに反する。

以上よりどの場合も矛盾し、そのような2次方程式は存在しない。