九州大学　2026年度　前期日程　理科系

第5問微分積分の解答・解説

積分で定義された関数・微分と増減・部分積分・差の極限当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/06

問題文について

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掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $f (x)$ が極値をとる $x$ と、そのときの極値を求める

答 $x = - \frac{1}{2}$ で極小値 $lo g 2 + \frac{π}{2} - 2$

方針積分区間の両端が動くので、微分すると両端の値の差になる。 $f^{'} (x) = 0$ は $4 t^{2} + 1$ の値が両端で等しいことと同じ。

f^{'} (x) = lo g (4 (x + 1)^{2} + 1) - lo g (4 x^{2} + 1) = lo g \frac{4 ( x + 1 ) ^{2} + 1}{4 x ^{2} + 1}

$f^{'} (x) = 0 ⟺ (x + 1)^{2} = x^{2} ⟺ x = - \frac{1}{2}$ 。 $x > - \frac{1}{2}$ では $(x + 1)^{2} > x^{2}$ なので $f^{'} > 0$ 、 $x < - \frac{1}{2}$ では $f^{'} < 0$ 。よって $x = - \frac{1}{2}$ で極小。

極値を求める。部分積分で原始関数を出すと

\int lo g (4 t^{2} + 1) d t = t lo g (4 t^{2} + 1) - 2 t + arctan (2 t) + C

被積分関数は偶関数なので

f (- \frac{1}{2}) = \int_{- 1/2}^{1/2} lo g (4 t^{2} + 1) d t = 2 [\frac{1}{2} lo g 2 - 1 + \frac{π}{4}] = lo g 2 + \frac{π}{2} - 2

検算

$lo g 2 + \frac{π}{2} - 2 = 0.26394 \dots$ 。数値積分でも同じ値になる。極大値はない（ $f$ は $- \frac{1}{2}$ を境に減少→増加するだけ）。

答案で省略しない方がよい点

$\int \frac{d t}{4 t ^{2} + 1} = \frac{1}{2} arctan (2 t)$ 。 $\frac{1}{2}$ を落としやすい。
問われているのは極値。 $x = - \frac{1}{2}$ 以外に $f^{'} = 0$ となる点はないので、極大値は存在しない。

(2) $x \to \infty lim x {f (x) - f (x - 1)}$ を求める

答 $2$

方針 $f (x) - f (x - 1)$ を1つの積分にまとめる。区間を $s \in [0, 1]$ でそろえると、中身が $lo g$ の比になり、 $lo g (1 + ε) \approx ε$ が効く。

f (x) - f (x - 1) = \int_{0}^{1} lo g \frac{4 ( x + s ) ^{2} + 1}{4 ( x + s - 1 ) ^{2} + 1} d s

$u = x + s$ とおくと、被積分関数は

lo g \frac{4 u ^{2} + 1}{4 ( u - 1 ) ^{2} + 1} = 2 lo g \frac{u}{u - 1} + lo g \frac{4 + \frac{1}{u ^{2}}}{4 + \frac{1}{( u - 1 ) ^{2}}}

第1項は $2 lo g (1 + \frac{1}{u - 1})$ で、 $x$ 倍すると $\frac{2 x}{u - 1} \to 2$ 。第2項は $\frac{1}{u ^{2}} - \frac{1}{( u - 1 ) ^{2}} = O (\frac{1}{u ^{3}})$ なので、 $x$ 倍しても $0$ に向かう。

$s \in [0, 1]$ でこれが一様に成り立つので、積分と極限を入れ替えて

lim_{x \to \infty} x {f (x) - f (x - 1)} = \int_{0}^{1} 2 d s = 2

検算

$x = 1000$ で $x {f (x) - f (x - 1)} = 2.0000 \dots$ 、 $x = 100$ で $2.0001 \dots$ 。数値でも $2$ に近づく。

答案で省略しない方がよい点

$lo g$ の中が $\frac{u ^{2}}{( u - 1 ) ^{2}}$ に近づくところまで分けると、係数 $2$ がどこから来るかがはっきりする。いきなり $\approx \frac{2}{x}$ と書かない。
$4 t^{2} + 1$ の $+ 1$ は、 $x$ 倍しても消える程度の差しか生まない。そこを $O (1/ u^{3})$ と評価しておく。