名古屋市立大学　2026年度　前期日程　医学部医学科

第1問空間ベクトルの解答・解説

平面の法線ベクトル・垂線の足・四面体の体積・4点を通る球面当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。医学部医学科の問題文は名古屋市立大学が公開しています。

問題文を見る（名古屋市立大学公式・外部サイト・PDF）

掲載ページ名「令和8年度前期日程医学部数学」／2026/10/06に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)平面 $OBC$ に $A$ から下ろした垂線の足 $H$ の座標を求める

答 $H (\frac{31}{11}, \frac{20}{11}, \frac{17}{11})$

方針平面が原点を通るので、法線 $n$ さえ出れば平面の式は $n \cdot x = 0$ と定数項なしで書ける。 $H$ は $A$ から $n$ 方向に進んだ点なので、文字は1つで足りる。

$n = (a, b, c)$ が $OB = (3, 0, 1)$ 、 $OC = (1, 2, 1)$ の両方と垂直だから

3 a + c = 0, a + 2 b + c = 0

1本目から $c = - 3 a$ 。2本目に入れて $a + 2 b - 3 a = 0$ 、 $b = a$ 。 $a = 1$ として $n = (1, 1, - 3)$ 。平面 $OBC$ は

x + y - 3 z = 0

$H = A + t n = (2 + t, 1 + t, 4 - 3 t)$ を代入すると

(2 + t) + (1 + t) - 3 (4 - 3 t) = 11 t - 9 = 0 ⟹ t = \frac{9}{11}

H (\frac{31}{11}, \frac{20}{11}, \frac{17}{11})

検算

$\frac{31}{11} + \frac{20}{11} - 3 \cdot \frac{17}{11} = \frac{31 + 20 - 51}{11} = 0$ で、確かに平面上にある。

答案で省略しない方がよい点

平面が原点を通るので定数項は $0$ 。 $B, C$ を代入して確かめておくと安心（ $3 + 0 - 3 = 0$ 、 $1 + 2 - 3 = 0$ ）。

(2) $△ OBC$ の面積と四面体 $OABC$ の体積を求める

答 $△ OBC = 11$ 、体積 $= 3$

方針面積は $\frac{1}{2} ∣ b ∣^{2} ∣ c ∣^{2} - (b \cdot c)^{2}$ 。体積は (1) で出した $AH$ をそのまま高さに使えば、新しい計算はほとんど要らない。

$∣ OB ∣^{2} = 10$ 、 $∣ OC ∣^{2} = 6$ 、 $OB \cdot OC = 3 + 0 + 1 = 4$ なので

△ OBC = \frac{1}{2} 10 \cdot 6 - 4^{2} = \frac{1}{2} 44 = 11

高さは $AH = ∣ t ∣ ∣ n ∣ = \frac{9}{11} 11 = \frac{9}{11}$ 。

V = \frac{1}{3} \cdot 11 \cdot \frac{9}{11} = 3

検算

$11$ が約分で消えて整数になる。別ルートとして $V = \frac{1}{6} det (OA, OB, OC) = \frac{18}{6} = 3$ でも同じ。

答案で省略しない方がよい点

$11$ と $\frac{9}{11}$ を別々に小数にしてから掛けない。約分すれば整数になる。

(3) $O, A, B, C$ を通る球面の方程式を求める

答 $x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{17}{9} x + \frac{1}{9} y - \frac{13}{3} z = 0$ （中心 $(\frac{17}{18}, - \frac{1}{18}, \frac{13}{6})$ 、半径 $\frac{1811}{18}$ ）

方針中心と半径を未知数に置くより、一般形 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + p x + q y + r z + s = 0$ に置くほうが式が1次になる。原点を通るので $s = 0$ が即決まり、未知数は3つで済む。

$O$ を通るから $s = 0$ 。残り3点を入れて

$A (2, 1, 4)$ … $21 + 2 p + q + 4 r = 0$
$B (3, 0, 1)$ … $10 + 3 p + r = 0$
$C (1, 2, 1)$ … $6 + p + 2 q + r = 0$

2本目から $r = - 10 - 3 p$ 。3本目に入れて $6 + p + 2 q - 10 - 3 p = 0$ 、つまり $q = p + 2$ 。1本目に入れると

21 + 2 p + (p + 2) + 4 (- 10 - 3 p) = - 17 - 9 p = 0 ⟹ p = - \frac{17}{9}

q = - \frac{17}{9} + 2 = \frac{1}{9}, r = - 10 + \frac{17}{3} = - \frac{13}{3}

分母を払って $9 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - 17 x + y - 39 z = 0$ と書いてもよい。平方完成すると中心と半径が出る。

(x - \frac{17}{18})^{2} + (y + \frac{1}{18})^{2} + (z - \frac{13}{6})^{2} = \frac{1811}{324}

検算

中心から4点までの距離の2乗はどれも $\frac{1811}{324}$ 。たとえば $O$ なら $(\frac{17}{18})^{2} + (\frac{1}{18})^{2} + (\frac{13}{6})^{2} = \frac{289 + 1 + 1521}{324} = \frac{1811}{324}$ 。