名古屋市立大学　2026年度　前期日程　医学部医学科

第2問場合の数の解答・解説

正六面体の塗り分け・回転による重複・向かい合う面・使う色数で分ける当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/06

問題文について

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掲載ページ名「令和8年度前期日程医学部数学」／2026/10/06に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)6色すべてを使って正六面体の面を塗り分ける方法の総数を求める

答 $30$ 通り

方針6色すべてを使うなら6面の色は全部違う。だから「隣り合う面は異なる色」という条件は自動的にみたされ、考えるのは回転による重複だけになる。

面に名前をつけて塗る方法は $6! = 720$ 通り。6色すべて違うので、どの回転も塗り方を変えてしまう（ある面の色が別の色の面に移るので、同じ塗り方には戻らない）。

つまり $720$ 通りが、回転24通りずつのグループにきれいに分かれる。

\frac{6 !}{24} = \frac{720}{24} = 30

別解固定して数える

1色（たとえば赤）を上の面に固定する。向かい合う下の面は残り5色から選べて $5$ 通り。

側面の4色は、残り4色を円形に並べる問題。上下軸まわりの回転4通りで重なるので $\frac{4 !}{4} = 3! = 6$ 通り。

5 \times 6 = 30

答案で省略しない方がよい点

$\frac{6 !}{24}$ が使えるのは「どの回転でも塗り方が変わらないものが1つもない」ときだけ。色がすべて異なるこの小問では成り立つが、(2) ではそうならない。

(2)6色のうち何色かを使って正六面体の面を塗り分ける方法の総数を求める

答 $230$ 通り

方針隣り合う面が異なる、とは「向かい合う面だけが同じ色でよい」ということ。だから3組の向かい合う面を単位にして考えると、条件がきれいに言い換わる。重複は回転で起きるので、固定した塗り方を数えて回転で割る（バーンサイドの考え方）。

正六面体の面は、向かい合う3組に分かれる。ある面は、自分の向かいを除く4面すべてと隣り合う。よって条件は

まず面に名前をつけたまま数える。2色使う組の個数を $a (= 0, 1, 2, 3)$ とすると、使う色数は $3 + a$ 色で、色を入れる場所も $3 + a$ か所。どの組を2色にするかが $_{3} C_{a}$ 通り、色の入れ方が $6 \cdot 5 \dots (6 - (3 + a) + 1)$ 通りだから

\sum_{a = 0}^{3}_{3} C_{a} \cdot \frac{6 !}{( 3 - a )!} = 120 + 3 \cdot 360 + 3 \cdot 720 + 720 = 4080

次に回転24通りのそれぞれについて、「その回転で変わらない塗り方」がいくつあるかを見る。

恒等変換（1通り）… $4080$ 通りすべてが変わらない
面の中心を通る軸まわり $9 0^{\circ}, 27 0^{\circ}$ （6通り）… 側面4枚が同じ色になるが、側面どうしは隣り合うので不可。 $0$
面の中心を通る軸まわり $18 0^{\circ}$ （3通り）… 側面が向かい合う2枚ずつ同色になる。これは許される。軸上の2面が1組、同色になった側面が2組ぶんで、 $120 + 360 = 480$ 通り
頂点を通る軸まわり $12 0^{\circ}, 24 0^{\circ}$ （8通り）… 隣り合う3面が同色になるので不可。 $0$
辺の中点を通る軸まわり $18 0^{\circ}$ （6通り）… 隣り合う2面が入れ替わって同色になるので不可。 $0$

\frac{4080 + 3 \times 480}{24} = \frac{5520}{24} = 230

別解使う色数ごとに数える

$3 + a$ 色を使う塗り方だけを取り出して、それぞれ回転で割る方法もある。 $a = 3$ （6色）のときが (1) の $30$ 通り。

ただし $a \leq 2$ のときは「回転しても変わらない塗り方」が現れるので、単純に $24$ で割れない。結局はバーンサイドを使うことになる。上の解き方のほうが見通しがよい。

検算

使う色数ごとに分けると、ちょうど3色が $20$ 、4色が $90$ 、5色が $90$ 、6色が $30$ で、合計 $20 + 90 + 90 + 30 = 230$ 。最後の $30$ は (1) の答えと一致する。

答案で省略しない方がよい点

「6色のうち何色か」なので、1色だけ・2色だけも候補に入れて考える。ただし隣り合う面が異なるという条件から、実際には3色以上必要（向かい合う3組の色は互いに違うため）。
$\frac{4080}{24} = 170$ としてはいけない。回転で変わらない塗り方があるので、単純に割ると足りなくなる。