名古屋市立大学　2026年度　前期日程　医学部医学科

第3問数列・整数の解答・解説

階差数列・和の消し合い・素数になる条件・積が素数になるのは片方が1のとき当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。医学部医学科の問題文は名古屋市立大学が公開しています。

掲載ページ名「令和8年度前期日程医学部数学」／2026/10/06に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

答 $a_{n} = m^{n} - nm$

方針 $a_{n + 1} - a_{n}$ が与えられているので階差数列。足し合わせるとき、 $m^{j + 1} - m^{j}$ の部分が次々に消し合うことに気づけば一瞬で終わる。

a_{n} = a_{1} + \sum_{j = 1}^{n - 1} (m^{j + 1} - m^{j} - m) (n \geq 2)

$j = 1 \sum n - 1 (m^{j + 1} - m^{j})$ は、 $m^{2} - m, m^{3} - m^{2}, \dots$ と並べると間が消えて $m^{n} - m$ だけが残る。残りの $- m$ は $n - 1$ 個ぶん。

a_{n} = 0 + (m^{n} - m) - (n - 1) m = m^{n} - nm

$n = 1$ でも $m - m = 0 = a_{1}$ なので、この式は $n \geq 1$ で使える。

検算

$a_{2} = m^{2} - 2 m$ 。漸化式からは $a_{2} = a_{1} + m^{2} - m - m = m^{2} - 2 m$ で一致する。 $a_{3} = m^{3} - 3 m$ も同様。

答案で省略しない方がよい点

答 $m = 2$

方針 $m^{9}$ は $m$ が1増えただけで桁が跳ね上がる。だから候補はごく小さい $m$ しかないことを先に押さえると、調べる範囲が一瞬で決まる。

m^{9} - 9 m = 494

よって $m = 2$ 。

検算

$2^{9} = 512$ 、 $9 \times 2 = 18$ 、 $512 - 18 = 494$ 。

答案で省略しない方がよい点

$m \geq 3$ を「大きいから」で切るときは、 $m^{9} - 9 m$ が $m$ について増加することを一言添える。 $m \geq 2$ なら $m^{9}$ の伸びが $9 m$ を大きく上回る。

答 $m = 2, 3$

方針 $a_{n} = m (m^{n - 1} - n)$ と因数分解できることが鍵。積が素数になるのは、片方が $1$ でもう片方が素数のときに限る。

a_{n} = m^{n} - nm = m (m^{n - 1} - n)

$m = 1$ なら $a_{n} = 1 - n \leq 0$ で、素数になりえない。以下 $m \geq 2$ とする。

$m \geq 2$ のとき、 $a_{n}$ が素数なら $m$ は $a_{n}$ の約数で $1$ でないから、もう一方が $1$ でなければならない。

m^{n - 1} - n = 1 かつ m は素数

$m^{n - 1} = n + 1$ をみたす正の整数の組を探す。

$m = 3$ は素数で、このとき $a_{2} = 9 - 6 = 3$ 。 $m = 2$ も素数で、 $a_{3} = 8 - 6 = 2$ 。どちらも確かに素数。

以上より $m = 2, 3$ 。

検算

$m = 4$ なら $a_{n} = 4 (4^{n - 1} - n)$ で、 $4$ が素数でないから常に合成数（または $0$ 以下）。 $m = 5$ なら $5^{n - 1} - n = 1$ をみたす $n$ がない。

答案で省略しない方がよい点

$m$ が素数であることまで要る。 $m^{n - 1} - n = 1$ だけでは $a_{n} = m$ が素数とは言えない。
$2^{n - 1} > n + 1$ が $n \geq 4$ で成り立つことは、 $n = 4$ で $8 > 5$ を示したうえで帰納法か、 $2^{n - 1}$ の増え方で押さえる。
$m^{n - 1} - n$ が負や $0$ になる場合も、素数にならないことを確認しておく。