名古屋市立大学　2026年度　前期日程　医学部医学科

第4問微分積分の解答・解説

差をとると簡単になる関数・和積の公式・望遠鏡和・無限級数の和当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/06

問題文について

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掲載ページ名「令和8年度前期日程医学部数学」／2026/10/06に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)正の整数 $k$ について $f_{k} (x) - f_{k - 1} (x)$ を計算する

答 $f_{k} (x) - f_{k - 1} (x) = cos k x$

方針分母が共通なので、分子の $sin$ の差に和積の公式を当てる。分母の $sin \frac{x}{2}$ がそのまま約分されるように作られている。

$sin A - sin B = 2 cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ に $A = \frac{( 2 k + 1 ) x}{2}$ 、 $B = \frac{( 2 k - 1 ) x}{2}$ を入れる。 $\frac{A + B}{2} = k x$ 、 $\frac{A - B}{2} = \frac{x}{2}$ だから

sin \frac{( 2 k + 1 ) x}{2} - sin \frac{( 2 k - 1 ) x}{2} = 2 cos k x sin \frac{x}{2}

f_{k} (x) - f_{k - 1} (x) = \frac{2 c o s k x s i n \frac{x}{2}}{2 s i n \frac{x}{2}} = cos k x

検算

$k = 1$ 、 $x = \frac{π}{2}$ で左辺は $\frac{sin \frac{3 π}{4}}{2 sin \frac{π}{4}} - \frac{sin \frac{π}{4}}{2 sin \frac{π}{4}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ 、右辺は $cos \frac{π}{2} = 0$ で一致。

答案で省略しない方がよい点

$f_{0} (x) = \frac{sin \frac{x}{2}}{2 sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}$ という定数になる。これが (2) で効く。

(2) $k = 1 \sum n \frac{sin k}{k}$ を $I_{n}$ で表す

答 $k = 1 \sum n \frac{sin k}{k} = \frac{π - 1}{2} - I_{n}$

方針(1) の両辺を $1$ から $π$ まで積分する。左辺を $k = 1$ から $n$ まで足すと途中が消えて $I_{n} - I_{0}$ だけ残り、右辺からは $\frac{sin k}{k}$ が出てくる。

まず右辺を積分する。 $sin k π = 0$ に注意して

\int_{1}^{π} cos k x d x = [\frac{s i n k x}{k}]_{1}^{π} = \frac{s i n k π - s i n k}{k} = - \frac{s i n k}{k}

左辺を $k = 1$ から $n$ まで足すと、間の項が消えて

\sum_{k = 1}^{n} \int_{1}^{π} {f_{k} (x) - f_{k - 1} (x)} d x = I_{n} - I_{0}

$f_{0} (x) = \frac{1}{2}$ だから $I_{0} = \int_{1}^{π} \frac{1}{2} d x = \frac{π - 1}{2}$ 。したがって

I_{n} - \frac{π - 1}{2} = - \sum_{k = 1}^{n} \frac{s i n k}{k} ⟹ \sum_{k = 1}^{n} \frac{s i n k}{k} = \frac{π - 1}{2} - I_{n}

検算

$n = 1$ なら左辺は $sin 1 = 0.8414709848 \dots$ 。右辺は $\frac{π - 1}{2} = 1.0707963 \dots$ から $I_{1}$ を引いた値で、数値積分すると同じ値になる。

答案で省略しない方がよい点

$I_{0}$ を忘れない。足し合わせで残るのは $I_{n} - I_{0}$ であって $I_{n}$ ではない。
$\int_{1}^{π} cos k x d x$ の下端は $1$ であって $0$ ではない。ここから $sin k$ が出る。

(3) $n \to \infty lim I_{n}$ を求める

答 $0$

方針 $I_{n}$ は「なめらかで有界な関数 $\times$ 激しく振動する $sin$ 」の積分。部分積分で振動する側を1回移すと、 $\frac{1}{n}$ の大きさに落ちる。

$g (x) = \frac{1}{2 sin \frac{x}{2}}$ 、 $λ = \frac{2 n + 1}{2}$ と置くと $I_{n} = \int_{1}^{π} g (x) sin λ x d x$ 。

$1 \leq x \leq π$ で $sin \frac{x}{2} \geq sin \frac{1}{2} > 0$ だから、 $g$ はこの区間で連続かつ微分可能で、 $g$ も $g^{'}$ も有界。部分積分すると

I_{n} = [- \frac{g ( x ) c o s λ x}{λ}]_{1}^{π} + \frac{1}{λ} \int_{1}^{π} g^{'} (x) cos λ x d x

$∣ g ∣ \leq M$ 、 $∣ g^{'} ∣ \leq M^{'}$ とすると

∣ I_{n} ∣ \leq \frac{2 M}{λ} + \frac{M ^{'} ( π - 1 )}{λ} n \to \infty 0

よって $n \to \infty lim I_{n} = 0$ 。

検算

数値積分すると $I_{10} = - 0.0537$ 、 $I_{50} = 0.0202$ 、 $I_{200} = 0.0044$ 、 $I_{800} = - 0.0011$ 。符号は振れながら、大きさはおよそ $\frac{1}{n}$ で減っている。

答案で省略しない方がよい点

$sin λ x$ が $0$ と $1$ の間を動くから、といった理由では $0$ に行くことは言えない。振動の速さが効いていることを、部分積分か区間の分割で示す。
区間が $[1, π]$ で、 $sin \frac{x}{2}$ が $0$ になる $x = 0$ を含まないことが前提。 $[0, π]$ だったらこの議論は通らない。