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東京大学　2022年度　前期日程　理科

第3問図形と方程式・微分法の解答・解説

領域の面積・包除原理・場合分け・3次関数の増減当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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(1) $P$ の $x$ 座標 $a$ のとりうる値の範囲を求める

答 $1 \leq a \leq 3$

「十分離れていない」のほうが扱いやすい。点 $T$ から十分離れていない点の全体は、 $T$ を中心とする1辺 $2$ の正方形の内部である。 $P$ は放物線上にあるので $P (a, a^{2})$ と書け、 $O, A, B$ それぞれについて条件を書き下すだけでよい。 $A$ と $B$ の条件は、 $a$ の動ける範囲ではもともと自動的にみたされる。

$S$ が $T$ から十分離れていないとは、 $∣ x_{1} - x_{2} ∣ < 1$ かつ $∣ y_{1} - y_{2} ∣ < 1$ のこと、すなわち $S$ が $T$ を中心とする1辺 $2$ の正方形の内部（周を含まない）にあることである。

$P$ は $D$ の点かつ $y = x^{2}$ 上なので $P (a, a^{2})$ と書け、 $0 \leq a \leq 3$ かつ $0 \leq a^{2} \leq 3$ から $0 \leq a \leq 3$ である。

3点それぞれからの条件を見る。

$O (0, 0)$ から十分離れている： $∣ a ∣ \geq 1$ または $a^{2} \geq 1$ 。 $a \geq 0$ ではどちらも $a \geq 1$ と同値なので、条件は $a \geq 1$ 。
$A (3, 0)$ から十分離れている： $∣ a - 3∣ \geq 1$ または $a^{2} \geq 1$ 。 $a \leq 3 < 2$ より $3 - a > 1$ なので、つねに成り立つ。
$B (3, 3)$ から十分離れている： $∣ a - 3∣ \geq 1$ または $a^{2} - 3 \geq 1$ 。同じく $3 - a > 1$ なので、つねに成り立つ。

したがって効く条件は $a \geq 1$ だけで、求める範囲は $1 \leq a \leq 3$ である。

$a = 1$ のとき $P (1, 1)$ で、 $O$ との差は $x$ も $y$ も $1$ だからちょうど「十分離れている」。 $a$ をわずかに小さくすると両方の差が $1$ 未満になり条件を外れる。右端 $a = 3$ では $P (3, 3)$ で、 $y = 3$ はまだ $D$ の中にある。

「十分離れている」の定義は または である。否定をとるとかつになる。この入れかわりを取り違えると、 $A$ 、 $B$ の条件まで効いてしまう。

(2)条件 (iii)(iv) をともにみたす点 $Q$ が存在しうる範囲の面積 $f (a)$ を求める

答 $f (a) = {a^{3} - 2 a^{2} - a + 5 2 a^{2} + a - 3 (1 \leq a \leq 2) (2 \leq a \leq 3)$

$D$ から「 $O, A, B, P$ のどれかに近すぎる部分」を取り除けばよい。取り除く4つは、それぞれの点を中心とする1辺 $2$ の正方形と $D$ の共通部分である。 $O, A, B$ のぶんは角にある1辺 $1$ の正方形で固定、 $P$ のぶんだけが $a$ とともに動く。重なりを引く（包除原理）のがこの問題の作業で、 $P$ の正方形が上にはみ出すかどうかで $a = 2$ を境に式が変わる。

$D$ の面積は $9$ である。取り除く部分を順に見る。

$O$ に近すぎる部分： $0 \leq x < 1$ 、 $0 \leq y < 1$ 。面積 $1$ 。
$A$ に近すぎる部分： $2 < x \leq 3$ 、 $0 \leq y < 1$ 。面積 $1$ 。
$B$ に近すぎる部分： $2 < x \leq 3$ 、 $2 < y \leq 3$ 。面積 $1$ 。

この3つはどの2つも重ならない。 $P (a, a^{2})$ に近すぎる部分は $a - 1 < x < a + 1$ 、 $a^{2} - 1 < y < a^{2} + 1$ で、 $1 \leq a \leq 3$ のもとでは

0 \leq a - 1, a + 1 \leq 3 + 1 < 3, 0 \leq a^{2} - 1

だから、左右と下は $D$ からはみ出さない。上は $a^{2} + 1 > 3$ 、すなわち $a > 2$ のときだけはみ出す。 $D$ との共通部分の面積を $S_{P}$ とすると

S_{P} = {2 \cdot 2 = 4 2 {3 - (a^{2} - 1)} = 2 (4 - a^{2}) (1 \leq a \leq 2) (2 \leq a \leq 3)

である。次に $P$ のぶんと他の3つとの重なりを求める。横幅と縦幅を別々に見ればよい。

$O$ との重なり：横は $a - 1 \leq x < 1$ で幅 $2 - a$ 、縦は $a^{2} - 1 \leq y < 1$ で幅 $2 - a^{2}$ （ $a > 2$ では縦が重ならず $0$ ）。面積は $(2 - a) (2 - a^{2})$ 。
$A$ との重なり：横は $2 < x < a + 1$ で幅 $a - 1$ 、縦は $O$ と同じで $2 - a^{2}$ 。面積は $(a - 1) (2 - a^{2})$ 。
$B$ との重なり：横は幅 $a - 1$ 、縦は $2 < y < min {3, a^{2} + 1}$ で幅は $a \leq 2$ のとき $a^{2} - 1$ 、 $a \geq 2$ のとき $1$ 。

$O, A, B$ の3つは互いに重ならないので、3つ以上が重なることはない。

$1 \leq a \leq 2$ のとき。 重なりの合計は

(2 - a) (2 - a^{2}) + (a - 1) (2 - a^{2}) + (a - 1) (a^{2} - 1) = (2 - a^{2}) {(2 - a) + (a - 1)} + (a - 1)^{2} (a + 1) = (2 - a^{2}) + (a^{3} - a^{2} - a + 1) = a^{3} - 2 a^{2} - a + 3

なので

f (a) = 9 - (1 + 1 + 1 + 4) + (a^{3} - 2 a^{2} - a + 3) = a^{3} - 2 a^{2} - a + 5

である。

$2 \leq a \leq 3$ のとき。 $a^{2} - 1 \geq 1$ なので $O$ 、 $A$ とは縦が重ならず、重なりは $B$ とのぶん $(a - 1) \cdot 1 = a - 1$ だけである。よって

f (a) = 9 - {3 + 2 (4 - a^{2})} + (a - 1) = 2 a^{2} + a - 3

となる。 $a = 2$ ではどちらの式も $2 + 1$ を与え、つながっている。

a = 1.3

のときの様子。大きい正方形が

D

、網かけの4つが「

O, A, B, P

のどれかに近すぎて

Q

が置けない部分」。

f (a)

は

D

から網かけを除いた面積。

$D$ を $1500 \times 1500$ の格子で走査し、4点から十分離れている点の面積を直接数えると、 $a = 1.0$ で $3.000$ 、 $a = 1.3$ で $2.517$ 、 $a = 1.5$ で $3.000$ 、 $a = 3$ で $4.732$ となる。式はそれぞれ $3$ 、 $2.517$ 、 $3$ 、 $3 + 3 = 4.732$ で一致する。

$P$ の正方形は $O, A, B$ の3つすべてと重なりうる。1つだけ見て済ませない。いっぽう $O, A, B$ どうしは重ならないので、3つ以上が重なる項は考えなくてよい。

場合の境目は $a = 2$ （ $P$ の正方形が $D$ の上辺を越える）1か所だけである。 $a = 3$ で $a^{2} - 1 = 2$ になり $B$ の正方形の下辺と一致するが、これは範囲の端なので新たな場合分けは起きない。

(3) $f (a)$ を最小にする $a$ の値を求める

答 $a = 2$

2つの区間それぞれで微分する。前半の3次式の導関数の零点が $2$ より右にあることが分かれば、前半はずっと減少、後半はずっと増加となり、境目の $a = 2$ が最小だと決まる。

$1 \leq a \leq 2$ のとき。 $f (a) = a^{3} - 2 a^{2} - a + 5$ より

f^{'} (a) = 3 a^{2} - 4 a - 1

である。 $3 a^{2} - 4 a - 1 = 0$ の正の解は $a = \frac{2 + 7}{3}$ で、 $7 > 2.6$ より $\frac{2 + 7}{3} > 1.53 > 2$ である。よって $1 \leq a \leq 2$ では $f^{'} (a) < 0$ （実際 $f^{'} (1) = - 2$ ）で、 $f$ は減少する。

$2 \leq a \leq 3$ のとき。 $f (a) = 2 a^{2} + a - 3$ より $f^{'} (a) = 4 a + 1 > 0$ で、 $f$ は増加する。

したがって $f$ は $a = 2$ で最小になる。最小値は $f (2) = 2 + 1$ である。

$f (a)$ を $1 \leq a \leq 3$ で $20000$ 等分して全探索すると、最小値 $2.414226$ を $a = 1.414194$ でとる。 $2 = 1.414214$ 、 $2 + 1 = 2.414214$ と合う。両端の値は $f (1) = 3$ 、 $f (3) = 3 + 3 = 4.732$ で、どちらも $2 + 1$ より大きい。

前半の区間に $f^{'}$ の零点が入っていないことを、 $\frac{2 + 7}{3}$ と $2$ の大小で押さえる。 $7 > 2.6$ と $2 < 1.42$ を使えば十分である。

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(1)P の x 座標 a のとりうる値の範囲を求める

(2)条件 (iii)(iv) をともにみたす点 Q が存在しうる範囲の面積 f(a) を求める

(3)f(a) を最小にする a の値を求める

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