第4問 微分法・積分法の解答・解説

$\mathrm{P}(X,Y)$ とし、$\mathrm{P}$ を通る傾き $m$ の直線 $y=m(x-X)+Y$ を考える。$C$ との交点の $x$ 座標は

の解である。以下 $m\ge 1$ とし、$c=1+m\ge 2>0$、$k=mX-Y$ とおく。$h^{\prime }(x)=3x^2-c$ より、$h$ は

となる。$x=\pm \sqrt{\frac{c}{3}}$ では $x^3=\pm \frac{c}{3}\sqrt{\frac{c}{3}}$ だから

である。3次方程式 $h(x)=0$ が相異なる3実解をもつのは（極大値）$>0>$（極小値）のとき、すなわち

のときである。ここで $m\ge 1$ より

だから、

が成り立てばよい。よって $m=\max \left\{1,\frac{27}{4}{\left(|X|+|Y|\right)}^2\right\}+1$ などととれば、その傾きの直線は $C$ と相異なる3点で交わる。どんな $\mathrm{P}$ についてもこのような $m$ がとれるので、条件 (i) はすべての点でみたされる。

直線 $\ell :y=mx+n$ が $C$ と相異なる3点で交わるとし、その $x$ 座標を $\alpha <\beta <\gamma$ とする。

とおくと、$\alpha <x<\beta$ では $g>0$、$\beta <x<\gamma$ では $g<0$ である。2つの部分の面積は ${\int }_{\alpha }^{\beta }gdx$ と $-{\int }_{\beta }^{\gamma }gdx$ だから、これらが等しいことは

と同じである。$p=\beta -\alpha >0$、$q=\gamma -\beta >0$ とおき、$x=\beta +u$ と置換すると

となる。これを計算して整理すると

となる。$p+q>0$ だから、これが $0$ になるのは $p=q$、すなわち $\beta$ が $\alpha$ と $\gamma$ の中点のときに限る。

いっぽう $g(x)=x^3-(1+m)x-n$ には $x^2$ の項がないので、解と係数の関係から $\alpha +\beta +\gamma =0$ である。$\alpha +\gamma =2\beta$ と合わせると $3\beta =0$、つまり $\beta =0$ となり、$\ell$ は $C$ 上の点 $(0,0)$、すなわち原点を通る。

逆に $\ell$ が原点を通るとする。$\ell$ が $y$ 軸なら共有点は原点だけなので、$\ell :y=mx$ としてよい。交点は $x^3-x=mx$、つまり $x\left(x^2-1-m\right)=0$ の解で、相異なる3つになるのは $1+m>0$、すなわち $m>-1$ のときである。このとき $\beta =0$ が中点になるので、2つの面積は等しい。

以上より、条件 (ii) は「$\mathrm{P}$ がある $m>-1$ について直線 $y=mx$ の上にある」と同値である。$\mathrm{P}(X,Y)$ について調べる。

1. $X>0$ のとき：$m=\frac{Y}{X}$ とすればよく、条件は $\frac{Y}{X}>-1$、すなわち $X+Y>0$。
2. $X<0$ のとき：同じく $m=\frac{Y}{X}$ で、$\frac{Y}{X}>-1$ の両辺に負の数 $X$ をかけて $Y<-X$、すなわち $X+Y<0$。
3. $X=0$ のとき：$\mathrm{P}$ を通る原点を通る直線は $y$ 軸しかない（$Y\ne 0$ のとき）ので不適。$Y=0$、つまり $\mathrm{P}$ が原点のときは、たとえば $m=0$ の直線が条件をみたすので適する。

まとめると、求める範囲は

である。これは2直線 $x=0$ と $y=-x$ が平面を分けてできる4つの部分のうち、$x$ 軸を含む左右の2つで、境界の2直線は（原点を除いて）含まない。