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東京大学　2022年度　前期日程　理科

第6問確率・ベクトルの解答・解説

1次独立・場合の数・重複組合せ・二項係数の最大当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $N = 8$ のとき $X_{8}$ が $O$ にある確率を求める

答 $\frac{5}{128}$

$v_{k}$ は $k$ を $3$ で割った余りだけで決まり、 $v_{0} + v_{1} + v_{2} = 0$ である。だから「どの向きのベクトルを何本足したか」だけが問題で、原点に戻るのは3方向の本数が等しいときに限る。表の回数を、その直前までに出た裏の回数で分類すれば、本数の内訳が組合せの問題になる。

$v_{k}$ は $\frac{2 k π}{3}$ で決まるので、 $k$ を $3$ で割った余りだけで決まり、 $v_{0}, v_{1}, v_{2}$ の3通りしかない。この3つは正三角形の頂点の向きで

v_{0} + v_{1} + v_{2} = 0

をみたし、 $v_{0}$ と $v_{1}$ は1次独立である。

3つのベクトル

v_{0}, v_{1}, v_{2}

。互いに

12 0^{\circ}

ずつずれた単位ベクトルで、3つ足すと

0

になる。

表が出るたびに、そのときまでに出た裏の回数 $k$ に応じて $v_{k}$ が足される。そこで、各回の表を「その表より前に出た裏の回数」で分類し、裏がちょうど $j$ 回出たあとに出た表の回数を $m_{j}$ とする。裏が全部で $t$ 回なら $j = 0, 1, \dots, t$ である。すると

OX_{N} = j = 0 \sum t m_{j} v_{j} = A v_{0} + B v_{1} + C v_{2}

となる。ここで $A, B, C$ は $j$ を $3$ で割った余りが $0, 1, 2$ である $m_{j}$ の総和である。 $v_{2} = - v_{0} - v_{1}$ を代入すると

OX_{N} = (A - C) v_{0} + (B - C) v_{1}

で、 $v_{0}, v_{1}$ が1次独立だから、 $X_{N}$ が $O$ にあることは $A = B = C$ と同値である。

$N = 8$ の場合。 表の回数を $r$ とすると $r = A + B + C = 3 A$ なので $r$ は $3$ の倍数で、 $r \leq 8$ より $r = 0, 3, 6$ である。 $t = 8 - r$ で、 $m_{j}$ の番号 $j$ は $0$ から $t$ までの $9 - r$ 個ある。

$r = 0$ ：すべて裏。 $A = B = C = 0$ で条件をみたす。 $1$ 通り。
$r = 3$ ： $j = 0, 1, \dots, 5$ の $6$ 個で、余り $0, 1, 2$ の組にそれぞれ $2$ 個ずつ（ ${0, 3}$ 、 ${1, 4}$ 、 ${2, 5}$ ）。各組の合計を $1$ にするには、 $2$ 個のうちどちらを $1$ にするかで $2$ 通り。合わせて $2^{3} = 8$ 通り。
$r = 6$ ： $j = 0, 1, 2$ の $3$ 個で、各組が $1$ 個ずつ。合計を $2$ にする方法は $m_{0} = m_{1} = m_{2} = 2$ の $1$ 通り。

$m_{0}, m_{1}, \dots, m_{t}$ の組を決めることと表裏の並びを決めることは1対1に対応するので、求める場合の数は $1 + 8 + 1 = 10$ である。全体は $2^{8} = 256$ 通りなので

\frac{10}{256} = \frac{5}{128}

が答えである。

$2^{8} = 256$ 通りの表裏をすべて並べて $X_{8}$ を直接計算すると、原点に戻るのはちょうど $10$ 通りで、表の回数別の内訳は $r = 0$ が $1$ 、 $r = 3$ が $8$ 、 $r = 6$ が $1$ となり、上の数え方と完全に一致する。

$k$ は「それまでに出た裏の回数」であって、何回目かではない。裏が出た回では点は動かず、 $k$ が1つ増えるだけである。

$v_{0}, v_{1}, v_{2}$ の3本は1次従属（足すと $0$ ）なので、 $A v_{0} + B v_{1} + C v_{2} = 0$ から直ちに $A = B = C = 0$ とは言えない。 $v_{2}$ を消して2本の1次独立なベクトルにしてから係数を比べる。

(2) $N = 200$ のとき、 $X_{200}$ が $O$ にあり表がちょうど $r$ 回出る確率 $p_{r}$ と、 $p_{r}$ を最大にする $r$ を求める

答 $r$ が $3$ の倍数で $0 \leq r \leq 198$ のとき $p_{r} = \frac{1}{2 ^{200}} (_{66} C_{\frac{r}{3}})^{3}$ 、それ以外では $p_{r} = 0$ 。最大になるのは $r = 99$

(1) の数え方をそのまま一般化する。 $N = 200$ のときに都合がよいのは、 $r$ が $3$ の倍数なら $m_{j}$ の番号の個数 $201 - r$ も $3$ の倍数になり、余り $0, 1, 2$ の3組に同じ個数ずつきれいに分かれることである。各組で「決まった個数の箱に決まった合計を配る」のは重複組合せで、3組とも同じ数になるので3乗の形になる。

(1) と同様、 $A = B = C$ が条件で、表の回数 $r$ は $3$ の倍数でなければならない。 $r = 3 s$ とおく。 $3$ の倍数でない $r$ では $p_{r} = 0$ である。

裏の回数は $t = 200 - 3 s$ で、 $m_{j}$ の番号 $j$ は $0$ から $t$ までの

t + 1 = 201 - 3 s = 3 (67 - s)

個ある。これは $3$ の倍数なので、 $j$ を $3$ で割った余りが $0, 1, 2$ の3つの組は、どれもちょうど $n = 67 - s$ 個ずつになる。

条件 $A = B = C$ は $A = B = C = s$ ということだから、各組について「 $n$ 個の $m_{j}$ の合計を $s$ にする」組み合わせを数えればよい。これは $s$ 個のものを $n$ 個の箱に分ける重複組合せで

_{s + n - 1} C_{n - 1} =_{66} C_{66 - s} =_{66} C_{s}

通りである（ $s + n - 1 = s + 66 - s = 66$ となるのがこの問題の仕掛けで、 $200$ という回数がそのために選ばれている）。3つの組は独立に決められるので、表の回数が $r = 3 s$ で $X_{200}$ が $O$ にある並びは $(_{66} C_{s})^{3}$ 通りある。

全体は $2^{200}$ 通りで、どれも同じ確率だから

p_{r} = \frac{1}{2 ^{200}} (_{66} C_{\frac{r}{3}})^{3} (r = 0, 3, 6, \dots, 198)

である。 $n = 67 - s \geq 1$ から $s \leq 66$ 、すなわち $r \leq 198$ で、 $r = 200$ などは $3$ の倍数でないので $p_{r} = 0$ である。

最大。 $p_{r}$ は $_{66} C_{s}$ の増減に従う。隣どうしの比をとると

\frac{_{66} C _{s + 1}}{_{66} C _{s}} = \frac{66 - s}{s + 1}

で、これが $1$ より大きいのは $66 - s > s + 1$ 、つまり $s < 32.5$ のとき、 $1$ より小さいのは $s > 32.5$ のときである。よって $_{66} C_{s}$ は $s = 33$ で最大になる。したがって $p_{r}$ が最大になるのは

r = 3 \cdot 33 = 99

のときである。

同じ数え方を $N = 8, 11, 14$ （どれも $N + 1$ が $3$ の倍数）に当てはめると、場合の数はそれぞれ $(_{2} C_{s})^{3}$ 、 $(_{3} C_{s})^{3}$ 、 $(_{4} C_{s})^{3}$ の和になる。 $2^{N}$ 通りを全部並べて直接数えると $10$ 、 $56$ 、 $346$ で、表の回数別の内訳まで完全に一致した。

$m_{j}$ の番号は $j = 0$ から始まるので、個数は $t$ ではなく $t + 1$ である。ここを1つ間違えると3組に均等に分かれなくなり、式の形が崩れる。

$N = 200$ だから $201 - r$ が $3$ の倍数になる、という事情が効いている。 $N$ が別の値だと3組の個数がそろわず、答えはこれほどきれいにならない。

$_{66} C_{s}$ の最大は $s = 33$ だが、 $66$ が偶数なので最大を与える $s$ は1つだけである。奇数なら2つ並ぶ。

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(1)N=8 のとき X8​ が O にある確率を求める

(2)N=200 のとき、X200​ が O にあり表がちょうど r 回出る確率 pr​ と、pr​ を最大にする r を求める

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