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東京大学　2022年度　前期日程　理科

第5問空間図形・積分法の解答・解説

回転面・中点の軌跡・円環の面積・体積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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$K$ の体積を求める

答 $\frac{4 π ^{2}}{3} - 23 π$

$M$ の高さは $P$ の高さの半分だから、 $M$ の $z$ 座標を決めると $P$ の $z$ 座標も決まる。その高さでは $P$ は $z$ 軸を中心とする1つの円の上を自由に動き、 $Q$ は $P$ の真下を中心とする1つの円の上を自由に動く。 $M$ の水平位置は「長さ $r_{1}$ のベクトル」と「長さ $r_{2}$ のベクトル」の和になるので、断面は円環になる。あとは $z$ で積分するだけである。

線分 $AB$ は $(t, 0, 2 - t)$ （ $0 \leq t \leq 1$ ）と書けるので、 $z$ 軸のまわりに回してできる曲面 $S$ は

S : x^{2} + y^{2} = 2 - z (1 \leq z \leq 2)

である。すなわち高さ $z$ での $S$ の断面は、 $z$ 軸を中心とする半径 $2 - z$ の円である。

$P$ の $z$ 座標を $h$ （ $1 \leq h \leq 2$ ）とする。 $Q$ は $x y$ 平面上にあり $PQ = 2$ だから、 $Q$ は $P$ の真下の点を中心とする半径 $4 - h^{2}$ の円の上を動く。 $M$ は $PQ$ の中点なので

(M の z 座標) = \frac{h}{2}, M_{x y} = P_{x y} + \frac{PQ _{x y}}{2}

となる。ここで $P_{x y}$ は長さ $2 - h$ の、 $\frac{PQ _{x y}}{2}$ は長さ $\frac{4 - h ^{2}}{2}$ のベクトルで、向きはそれぞれ独立に自由である。

$z = \frac{h}{2}$ とおくと $h = 2 z$ 、 $\frac{1}{2} \leq z \leq 1$ で

r_{1} = 2 - 2 z, r_{2} = \frac{4 - 4 z ^{2}}{2} = 1 - z^{2}

である。長さ $r_{1}$ のベクトルと長さ $r_{2}$ のベクトルを向き自由に足してできる点の全体は、 $z$ 軸からの距離が $∣ r_{1} - r_{2} ∣$ 以上 $r_{1} + r_{2}$ 以下の円環である。よって高さ $z$ での $K$ の断面積は

S (z) = π {(r_{1} + r_{2})^{2} - (r_{1} - r_{2})^{2}} = 4 π r_{1} r_{2} = 8 π (1 - z) 1 - z^{2}

である。これを $\frac{1}{2} \leq z \leq 1$ で積分する。2つに分けて

\int_{\frac{1}{2}}^{1} 1 - z^{2} d z, \int_{\frac{1}{2}}^{1} z 1 - z^{2} d z

を計算する。前者は $z = sin θ$ と置換すると $θ$ は $\frac{π}{6}$ から $\frac{π}{2}$ まで動いて

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} θ d θ = [\frac{θ}{2} + \frac{sin 2 θ}{4}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{4} - (\frac{π}{12} + \frac{3}{8}) = \frac{π}{6} - \frac{3}{8}

となる。後者は

[- \frac{1}{3} (1 - z^{2})^{\frac{3}{2}}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1}{3} (\frac{3}{4})^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 3}{8} = \frac{3}{8}

である。したがって

V = 8 π {(\frac{π}{6} - \frac{3}{8}) - \frac{3}{8}} = 8 π (\frac{π}{6} - \frac{3}{4}) = \frac{4 π ^{2}}{3} - 23 π

となる。

z = \frac{3}{4}

での断面を真上から見たもの。

P

の真下は半径

r_{1} = \frac{1}{2}

の円（破線）の上を動き、そこから半径

r_{2} = \frac{7}{4}

の円（細線）だけ離れたところに

M

が来る。

M

の全体は、

r_{2} - r_{1}

から

r_{1} + r_{2}

までの円環になる。

断面積 $8 π (1 - z) 1 - z^{2}$ をシンプソン法で $\frac{1}{2}$ から $1$ まで積分すると $2.276676349$ となり、 $\frac{4 π ^{2}}{3} - 23 π = 13.159472 - 10.882796 = 2.276676$ と小数9桁まで一致する。 $z = 1$ （ $P$ が頂点 $A$ 、 $Q$ が原点）で断面が1点につぶれることとも合う。

$P$ と $Q$ の向きは独立に自由である。 $Q$ が $P$ と同じ方向にあるとは限らないので、断面は円板ではなく円環になる。

$z = \frac{3}{5}$ のところで $r_{1} = r_{2}$ となり、内半径が $0$ になる。そこだけ断面が円板になるが、面積の式 $4 π r_{1} r_{2}$ はそのまま使える。

$M$ の高さは $\frac{h}{2}$ なので、積分区間は $\frac{1}{2} \leq z \leq 1$ である。 $P$ の高さ $1 \leq h \leq 2$ のまま積分しないこと。

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