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東京大学　2022年度　前期日程　理科

第1問微分法・積分法の解答・解説

積分で定義された関数の微分・増減表・部分積分・最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $f (x)$ が $0 \leq x < \frac{π}{2}$ で最小値を持つことを示す

答 $f^{'} (x) = lo g (cos x) (cos x - sin x)$ となり、 $x = \frac{π}{4}$ で最小になる

$f$ は「積のかたまり」と「積分」の和だが、微分してしまえば積分の項は中身がそのまま出てくる。積の微分で出る項とちょうど打ち消し合うので、 $f^{'}$ はきれいな積の形になる。あとは2つの因子の符号を別々に見るだけでよい。区間の右端が開いているので、そこで下がり続けていないことも確かめる必要がある。

$0 \leq x < \frac{π}{2}$ では $0 < cos x \leq 1$ なので、 $lo g (cos x)$ はきちんと定まる。積の微分で

\frac{d}{d x} {(cos x) lo g (cos x)} = - sin x lo g (cos x) + cos x \cdot \frac{- sin x}{cos x} = - sin x lo g (cos x) - sin x

であり、積分の項は微分すると中身がそのまま出るから

f^{'} (x) = {- sin x lo g (cos x) - sin x} + sin x + (cos x) lo g (cos x) = lo g (cos x) (cos x - sin x)

となる。 $- sin x$ と $+ sin x$ が打ち消し合うのがこの問題の仕掛けである。2つの因子の符号を見る。

$lo g (cos x)$ ： $0 < cos x \leq 1$ なので $lo g (cos x) \leq 0$ で、 $= 0$ となるのは $x = 0$ のときだけ。
$cos x - sin x = 2 cos (x + \frac{π}{4})$ ： $0 \leq x < \frac{π}{2}$ では $\frac{π}{4} \leq x + \frac{π}{4} < \frac{3 π}{4}$ なので、 $x < \frac{π}{4}$ で正、 $x = \frac{π}{4}$ で $0$ 、 $x > \frac{π}{4}$ で負。

よって $f^{'}$ の符号は次のようになる。

$0 < x < \frac{π}{4}$ ：（負） $\times$ （正）で $f^{'} < 0$ 、 $f$ は減少。
$x = \frac{π}{4}$ ： $f^{'} = 0$ 。
$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ ：（負） $\times$ （負）で $f^{'} > 0$ 、 $f$ は増加。

$f$ は $[0, \frac{π}{4}]$ で減少し、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ で増加する。したがって区間の右端が開いていても、 $x = \frac{π}{4}$ の値より小さくなることはない。すなわち $f$ は $x = \frac{π}{4}$ で最小値をとる。

y = f (x)

のグラフ。

x = \frac{π}{4}

でいちばん低くなり、そこから右端

\frac{π}{2}

に向かっては増加する（

x \to \frac{π}{2}

では

lo g 2 - 1

に近づく）。

$f$ を数値積分で作り、その数値微分と $lo g (cos x) (cos x - sin x)$ を比べると、 $x = 0.3, 0.7, 1.2$ のどれでも小数8桁まで一致する。符号も $x = 0.7 < \frac{π}{4}$ で負、 $x = 1.2 > \frac{π}{4}$ で正になっている。

区間の右端 $\frac{π}{2}$ は含まれない。「増減表を書いて端点と比べる」では済まず、右半分で増加していることを根拠に、最小が内部の $\frac{π}{4}$ で実現すると言い切る必要がある。

$cos x - sin x$ の符号は、合成して $2 cos (x + \frac{π}{4})$ と書くと一度で片づく。

(2) $f (x)$ の $0 \leq x < \frac{π}{2}$ における最小値を求める

答 $lo g (1 + 2) - \frac{2}{2} lo g 2 - 2$

(1) より最小値は $f (\frac{π}{4})$ である。残るのは $\int_{0}^{π /4} (cos t) lo g (cos t) d t$ を実際に計算することだけ。 $lo g$ を微分する側にまわす部分積分で $\frac{sin ^{2} t}{cos t}$ が出てくるので、 $1 - cos^{2} t$ に直して $\frac{1}{cos t}$ の積分に落とす。これは $sin t$ で置換すれば部分分数に分かれる。

$I = \int_{0}^{π /4} (cos t) lo g (cos t) d t$ を求める。 $lo g (cos t)$ を微分する側にして部分積分すると

\int (cos t) lo g (cos t) d t = sin t lo g (cos t) - \int sin t \cdot \frac{- sin t}{cos t} d t = sin t lo g (cos t) + \int \frac{sin ^{2} t}{cos t} d t

である。 $sin^{2} t = 1 - cos^{2} t$ と直すと

\int \frac{sin ^{2} t}{cos t} d t = \int \frac{d t}{cos t} - \int cos t d t = \int \frac{d t}{cos t} - sin t

となる。 $\int \frac{d t}{cos t}$ は分母分子に $cos t$ をかけて $s = sin t$ と置換すれば

\int \frac{cos t}{1 - sin ^{2} t} d t = \int \frac{d s}{( 1 - s ) ( 1 + s )} = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{1 + s} + \frac{1}{1 - s}) d s = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + sin t}{1 - sin t}

（ $0 \leq t \leq \frac{π}{4}$ では $1 \pm sin t > 0$ ）となる。まとめると

I = [sin t lo g (cos t) + \frac{1}{2} lo g \frac{1 + sin t}{1 - sin t} - sin t]_{0}^{π /4}

である。 $t = \frac{π}{4}$ では $sin t = cos t = \frac{1}{2}$ 、 $lo g (cos t) = - \frac{1}{2} lo g 2$ で

\frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = (2 + 1)^{2}

だから $\frac{1}{2} lo g (2 + 1)^{2} = lo g (1 + 2)$ となる。 $t = 0$ では3項とも $0$ なので

I = - \frac{lo g 2}{2 2} + lo g (1 + 2) - \frac{1}{2}

である。いっぽう $f$ の前半は

cos \frac{π}{4} lo g (cos \frac{π}{4}) - cos \frac{π}{4} = - \frac{lo g 2}{2 2} - \frac{1}{2}

なので、足して

f (\frac{π}{4}) = - \frac{lo g 2}{2} - \frac{2}{2} + lo g (1 + 2) = lo g (1 + 2) - \frac{2}{2} lo g 2 - 2

を得る。これが求める最小値である。

$lo g (1 + 2) - \frac{2}{2} lo g 2 - 2 = 0.881374 - 0.490129 - 1.414214 = - 1.022969$ 。 $f$ を数値積分して $0 \leq x < \frac{π}{2}$ を $2000$ 等分で全探索すると、最小値 $- 1.022969$ を $x = 0.78535$ 付近でとる。 $\frac{π}{4} = 0.785398$ と合う。

$\frac{1}{cos t}$ の積分は、分母分子に $cos t$ をかけて $s = sin t$ と置くのが定石である。いきなり部分分数にしようとすると手が止まる。

$\frac{lo g 2}{2 2}$ は $f$ の前半と積分の両方から1つずつ出てきて、合わせて $\frac{lo g 2}{2} = \frac{2}{2} lo g 2$ になる。片方だけ数えないように注意する。

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(1)f(x) が 0≤x<2π​ で最小値を持つことを示す

(2)f(x) の 0≤x<2π​ における最小値を求める

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