第6問確率の解答・解説

状態の推移・確率漸化式・等比型への帰着・2段階の漸化式当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $10$ 個の玉が入っている袋から $1$ 個の玉を無作為に取り出し、新たに白玉 $1$ 個を袋に入れるという試行を繰り返す。初めに袋には赤玉 $5$ 個と白玉 $5$ 個が入っているとし、この試行を $m$ 回繰り返したとき、取り出した赤玉が全部で $k$ 個である確率を $p (m, k)$ とする。 $2$ 以上の整数 $n$ に対して、 $p (n + 1, 2)$ を $p (n, 2)$ と $p (n, 1)$ を用いて表す

答 $p (n + 1, 2) = \frac{7}{10} p (n, 2) + \frac{2}{5} p (n, 1)$

取り出した赤玉の累計が $j$ 個なら、袋の中は赤 $5 - j$ 個・白 $5 + j$ 個（合計はいつも $10$ 個のまま）。この1つの数で状態が決まる。

1個取り出して白を1個入れるので、袋の中の玉は常に $10$ 個である。これまでに赤玉を $j$ 個取り出しているなら、袋の中は

赤 5 - j 個, 白 5 + j 個

である。したがって次の1回で赤玉を取り出す確率は $\frac{5 - j}{10}$ 、赤玉でない（白玉）確率は $\frac{5 + j}{10}$ である。

$n + 1$ 回終わって赤玉が2個になるのは、次の2つの場合である。

$n$ 回で既に2個（ $j = 2$ ：袋は赤3・白7）で、 $n + 1$ 回目は白を取り出す：確率 $\frac{7}{10}$
$n$ 回で1個（ $j = 1$ ：袋は赤4・白6）で、 $n + 1$ 回目は赤を取り出す：確率 $\frac{4}{10}$

この2つは互いに排反なので

p (n + 1, 2) = \frac{7}{10} p (n, 2) + \frac{4}{10} p (n, 1) = \frac{7}{10} p (n, 2) + \frac{2}{5} p (n, 1)

である。

袋の状態を分数のまま推移させて計算した $p (m, k)$ について、 $n = 2$ から $11$ までこの関係が成り立った。

袋の中身は「取り出した赤玉の累計」だけで決まる。どの順で取り出したかは関係ない。

取り出すたびに白を1個補充するので、袋の玉の総数は $10$ のまま変わらない。

(2) $p (n, 1)$ を求める

答 $p (n, 1) = 5 (\frac{3}{5})^{n} - 5 (\frac{1}{2})^{n}$

まず $p (m, 0)$ を求める。赤を1個も取り出していなければ袋は赤5・白5のままなので、毎回 $\frac{1}{2}$ で白。そのあと (1) と同じ考えで $p (m, 1)$ の漸化式を立てる。

$p (m, 0)$ 。 赤玉を1個も取り出していない間、袋は赤5・白5のままである（白を取り出して白を入れるので変わらない）。毎回白を取り出す確率は $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ だから

p (m, 0) = (\frac{1}{2})^{m}

である。

$p (m, 1)$ の漸化式。 $m + 1$ 回で赤が1個になるのは、 $m$ 回で1個（袋は赤4・白6）でその後白を取り出すか、 $m$ 回で0個（袋は赤5・白5）でその後赤を取り出すかである。

p (m + 1, 1) = \frac{6}{10} p (m, 1) + \frac{5}{10} p (m, 0) = \frac{3}{5} p (m, 1) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{m}

すなわち

p (m + 1, 1) = \frac{3}{5} p (m, 1) + (\frac{1}{2})^{m + 1}

である。また $p (1, 1) = \frac{1}{2}$ である。

解く。 $p (m, 1) = α (\frac{3}{5})^{m} + β (\frac{1}{2})^{m}$ の形を探す。漸化式に入れて $(\frac{1}{2})^{m}$ の係数を比べると

\frac{β}{2} = \frac{3}{5} β + \frac{1}{2}, - \frac{β}{10} = \frac{1}{2}, β = - 5

である（ $(\frac{3}{5})^{m}$ の係数は自動的に合う）。 $p (1, 1) = \frac{1}{2}$ から

\frac{3}{5} α - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}, \frac{3}{5} α = 3, α = 5

である。よって

p (n, 1) = 5 (\frac{3}{5})^{n} - 5 (\frac{1}{2})^{n}

である。

$n = 1$ では $3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ 、 $n = 2$ では $\frac{9}{5} - \frac{5}{4} = \frac{11}{20}$ で、直接数え上げた値と合う。

分数のまま計算した $p (n, 1)$ は $n = 1, \dots, 6$ で $\frac{1}{2}, \frac{11}{20}, \frac{91}{200}, \frac{671}{2000}, \frac{4651}{20000}, \frac{31031}{200000}$ で、この式と完全に一致した。

$p (m, 0) = (\frac{1}{2})^{m}$ は「赤を取り出さない限り袋が変わらない」から。ここを取り違えると全部ずれる。

$\frac{3}{5}$ と $\frac{1}{2}$ という2つの比が出てくる。 $(\frac{1}{2})^{m}$ を特殊解、 $(\frac{3}{5})^{m}$ を同次解と見て足し合わせる。

(3) $p (n, 2)$ を求める

答 $p (n, 2) = 10 (\frac{7}{10})^{n} - 20 (\frac{3}{5})^{n} + 10 (\frac{1}{2})^{n}$

(1) の漸化式に (2) の結果を入れると、 $(\frac{3}{5})^{m}$ と $(\frac{1}{2})^{m}$ が外から入ってくる形になる。(2) と同じく、3つの等比数列の重ね合わせで解ける。

(1) の漸化式に (2) を代入すると

p (m + 1, 2) = \frac{7}{10} p (m, 2) + \frac{2}{5} {5 (\frac{3}{5})^{m} - 5 (\frac{1}{2})^{m}} = \frac{7}{10} p (m, 2) + 2 (\frac{3}{5})^{m} - 2 (\frac{1}{2})^{m}

である。 $p (1, 2) = 0$ （1回では赤を2個取り出せない）である。

$p (m, 2) = A (\frac{7}{10})^{m} + B (\frac{3}{5})^{m} + C (\frac{1}{2})^{m}$ とおいて係数を比べる。

$(\frac{3}{5})^{m}$ ： $\frac{3}{5} B = \frac{7}{10} B + 2$ より $- \frac{B}{10} = 2$ 、 $B = - 20$
$(\frac{1}{2})^{m}$ ： $\frac{C}{2} = \frac{7}{10} C - 2$ より $- \frac{C}{5} = - 2$ 、 $C = 10$