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東北大学　2019年度　前期日程　理系

第4問式と証明の解答・解説

多項式の剰余・剰余の積の法則・2倍角の公式・すべて求める当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)実数を係数にもつ整式 $A (x)$ を $x^{2} + 1$ で割った余りを $[A (x)]$ と表すとき、 $[2 x^{2} + x + 3]$ 、 $[x^{5} - 1]$ 、 $[[2 x^{2} + x + 3] [x^{5} - 1]]$ をそれぞれ求める

答 $x + 1$ 、 $x - 1$ 、 $- 2$

$x^{2} + 1$ で割るので、 $x^{2}$ を $- 1$ に置きかえていくのが速い。 $x^{4} = (x^{2})^{2}$ は $1$ に化ける。

余りを求めるときは、 $x^{2}$ を $- 1$ に置きかえてよい（ $x^{2} = (x^{2} + 1) - 1$ だから）。

$[2 x^{2} + x + 3]$ 。

2 x^{2} + x + 3 = 2 (x^{2} + 1) + x + 1

なので $[2 x^{2} + x + 3] = x + 1$ である。

$[x^{5} - 1]$ 。 $x^{2} \to - 1$ より $x^{4} \to 1$ 、 $x^{5} = x \cdot x^{4} \to x$ なので

[x^{5} - 1] = x - 1

である。

3つめ。 上の2つを掛けて、また余りをとる。

[(x + 1) (x - 1)] = [x^{2} - 1] = [(x^{2} + 1) - 2] = - 2

である。

多項式の割り算をそのまま実装して計算させたところ、 $x + 1$ 、 $x - 1$ 、 $- 2$ だった。

(2)整式 $A (x), B (x)$ に対して $[A (x) B (x)] = [[A (x)] [B (x)]]$ が成り立つことを示す

答 $A = (x^{2} + 1) Q_{A} + [A]$ 、 $B = (x^{2} + 1) Q_{B} + [B]$ を掛けると、差が $x^{2} + 1$ で割り切れる

「余りが等しい」は「差が $x^{2} + 1$ で割り切れる」と同じこと。掛け算を展開して、 $[A] [B]$ 以外の項がすべて $x^{2} + 1$ を因数にもつことを見る。

商を $Q_{A} (x), Q_{B} (x)$ とすると、割り算の原理から

A (x) = (x^{2} + 1) Q_{A} (x) + [A (x)], B (x) = (x^{2} + 1) Q_{B} (x) + [B (x)]

である。掛け合わせると

A (x) B (x) = (x^{2} + 1) {(x^{2} + 1) Q_{A} Q_{B} + Q_{A} [B] + Q_{B} [A]} + [A (x)] [B (x)]

となるので

A (x) B (x) - [A (x)] [B (x)] は x^{2} + 1 で割り切れる

である。2つの整式の差が $x^{2} + 1$ で割り切れるなら、それらを $x^{2} + 1$ で割った余りは等しい。よって

[A (x) B (x)] = [[A (x)] [B (x)]]

である。 $■$

整数を $m$ で割った余りについて成り立つ「積の余りは、余りの積の余り」とまったく同じ仕組みである。

乱数で作った200組の $A, B$ で両辺を計算すると、すべて一致した。

(3)実数 $θ$ に対して $[(x sin θ + cos θ)^{2}] = x sin 2 θ + cos 2 θ$ が成り立つことを示す

答展開して $x^{2} sin^{2} θ = sin^{2} θ (x^{2} + 1) - sin^{2} θ$ と直すと、残りがちょうど2倍角になる

$x^{2}$ の項だけを $x^{2} + 1$ の倍数に吸わせればよい。残った定数項が $cos^{2} θ - sin^{2} θ$ になるところが要点。

展開すると

(x sin θ + cos θ)^{2} = x^{2} sin^{2} θ + 2 x sin θ cos θ + cos^{2} θ

である。 $x^{2} sin^{2} θ = sin^{2} θ (x^{2} + 1) - sin^{2} θ$ と書きかえると

= sin^{2} θ (x^{2} + 1) + x \cdot 2 sin θ cos θ + (cos^{2} θ - sin^{2} θ)

となる。2倍角の公式 $2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ 、 $cos^{2} θ - sin^{2} θ = cos 2 θ$ より

= sin^{2} θ (x^{2} + 1) + (x sin 2 θ + cos 2 θ)

である。 $x sin 2 θ + cos 2 θ$ は1次以下なので、これが余りである。よって

[(x sin θ + cos θ)^{2}] = x sin 2 θ + cos 2 θ

である。 $■$

$x sin θ + cos θ$ を2乗すると角が $2 θ$ になる、という形は $(cos θ + i sin θ)^{2} = cos 2 θ + i sin 2 θ$ とそっくりである。 $x^{2} + 1$ で割ることが「 $x$ を虚数単位だと思う」ことに対応している。

$θ$ を $0$ から $7.0$ まで20通りとって両辺を比べると、すべて小数12桁まで一致した。

(4) $[(a x + b)^{4}] = - 1$ を満たす実数 $a, b$ の組 $(a, b)$ をすべて求める

答 $(a, b) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ の4組

$a x + b$ を $r (x sin θ + cos θ)$ の形に直すと、(2)(3) がそのまま効いて4乗の余りが一気に出る。

$(a, b) = (0, 0)$ なら左辺は $0$ で不適である。以下 $(a, b) \neq = (0, 0)$ とし

r = a^{2} + b^{2} > 0, sin θ = \frac{a}{r}, cos θ = \frac{b}{r}

となる $θ$ をとる（ $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ なので必ずとれる）。このとき

a x + b = r (x sin θ + cos θ)

である。 $P (x) = x sin θ + cos θ$ とおくと、(2) と (3) から

[P (x)^{4}] = [[P (x)^{2}] [P (x)^{2}]] = [(x sin 2 θ + cos 2 θ)^{2}] = x sin 4 θ + cos 4 θ

である（最後はもう一度 (3) を $θ$ の代わりに $2 θ$ で使った）。定数倍は余りの計算をそのまま通るので

[(a x + b)^{4}] = r^{4} (x sin 4 θ + cos 4 θ)

である。これが $- 1$ に等しいとは、 $x$ の係数と定数項を比べて

r^{4} sin 4 θ = 0, r^{4} cos 4 θ = - 1

ということである。 $r > 0$ より $sin 4 θ = 0$ で、このとき $cos 4 θ = \pm 1$ である。2つめの式の右辺が負だから $cos 4 θ = - 1$ 、したがって $r^{4} = 1$ 、つまり $r = 1$ である。

$cos 4 θ = - 1$ より $4 θ = π + 2 k π$ 、すなわち

θ = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k は整数)

である。 $r = 1$ なので $(a, b) = (sin θ, cos θ)$ で、 $k = 0, 1, 2, 3$ に対応して

(a, b) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

の4組である。

直接計算しても確かめられる。 $[(a x + b)^{2}] = 2 ab x + (b^{2} - a^{2})$ で、もう一度2乗して余りをとると $4 ab (b^{2} - a^{2}) x + (b^{2} - a^{2})^{2} - 4 a^{2} b^{2}$ になる。 $= - 1$ から $ab (b^{2} - a^{2}) = 0$ と $(b^{2} - a^{2})^{2} - 4 a^{2} b^{2} = - 1$ が出て、 $a = 0$ も $b = 0$ も不適なので $b^{2} = a^{2}$ 、したがって $- 4 a^{4} = - 1$ となり同じ答えになる。