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東北大学　2019年度　前期日程　理系

第3問数列と極限の解答・解説

漸化式と単調性・発散の証明・数学的帰納法・有界単調数列の収束当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $a$ を実数とし、 $x_{1} = a$ 、 $x_{n + 1} = x_{n} + x_{n}^{2}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）で数列 ${x_{n}}$ を定める。 $a > 0$ のとき ${x_{n}}$ が発散することを示す

答 $x_{n} ≧ a$ より $x_{n + 1} - x_{n} = x_{n}^{2} ≧ a^{2}$ となり、 $x_{n} ≧ a + (n - 1) a^{2} \to \infty$

「増え方が毎回 $a^{2}$ 以上」を示せば、1次式で下から押さえられる。極限を求める必要はなく、いくらでも大きくなることが言えればよい。

まず、すべての $n$ で $x_{n} ≧ a$ を示す。 $x_{1} = a$ であり、 $x_{n} ≧ a > 0$ とすると

x_{n + 1} = x_{n} + x_{n}^{2} > x_{n} ≧ a

なので、数学的帰納法によりすべての $n$ で $x_{n} ≧ a > 0$ である。

このとき

x_{n + 1} - x_{n} = x_{n}^{2} ≧ a^{2}

なので、これを $n = 1$ から $n - 1$ まで足し合わせると

x_{n} - x_{1} ≧ (n - 1) a^{2}, x_{n} ≧ a + (n - 1) a^{2}

である。 $a^{2} > 0$ だから右辺は $n \to \infty$ で $\infty$ に発散する。よって $x_{n} \to \infty$ となり、 ${x_{n}}$ は発散する。 $■$

$a = 0.1$ でも60回で $1 0^{308}$ を超えた。

「増加するから発散」とは言えない。増加しても上に有界なら収束してしまう。増え方が $0$ に潰れないことを示す必要がある。

(2) $- 1 < a < 0$ のとき、すべての正の整数 $n$ に対して $- 1 < x_{n} < 0$ が成り立つことを示す

答 $x_{n + 1} = x_{n} (1 + x_{n})$ と因数分解すると、 $- 1 < x_{n} < 0$ から符号と大きさが決まる

$x + x^{2} = x (1 + x)$ と見る。 $- 1 < x < 0$ では $x < 0$ 、 $1 + x > 0$ なので積は負。下からは平方完成で $- \frac{1}{4}$ 以上と分かる。

数学的帰納法で示す。 $n = 1$ のとき $x_{1} = a$ で、仮定より $- 1 < a < 0$ ✓。

$- 1 < x_{n} < 0$ と仮定する。 $g (x) = x + x^{2}$ とおくと

x_{n + 1} = g (x_{n}) = x_{n} (1 + x_{n})

である。仮定より $x_{n} < 0$ かつ $1 + x_{n} > 0$ なので、積は負である。つまり $x_{n + 1} < 0$ ✓。

一方、平方完成すると

g (x) = (x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4} ≧ - \frac{1}{4}

なので $x_{n + 1} ≧ - \frac{1}{4} > - 1$ ✓。よって $- 1 < x_{n + 1} < 0$ となり、数学的帰納法によりすべての $n$ で成り立つ。 $■$

y = x + x² のグラフ。-1 < x < 0 では値は負で、いちばん下がっても -1/4 までしかいかない。つまり区間 (-1, 0) はこの写像で自分自身の中に移る。

$a = - 0.999$ でも20万回まで $- 1 < x_{n} < 0$ が保たれた。

$x + x^{2}$ を $x (1 + x)$ と因数分解すると符号が一目で分かる。展開したままだと見通しが悪い。

(3) $- 1 < a < 0$ のとき、数列 ${x_{n}}$ の極限を調べる

答 $n \to \infty lim x_{n} = 0$

(2) で上に有界が分かっている。増加であることを足せば収束が言え、極限の値は漸化式に極限を代入して決まる。

(2) よりすべての $n$ で $- 1 < x_{n} < 0$ である。このとき

x_{n + 1} - x_{n} = x_{n}^{2} ≧ 0

なので ${x_{n}}$ は（広い意味で）増加する。また (2) より上に $0$ で押さえられている。上に有界な増加数列は収束するので、極限 $α = n \to \infty lim x_{n}$ が存在し、 $- 1 ≦ α ≦ 0$ である。

漸化式 $x_{n + 1} = x_{n} + x_{n}^{2}$ で $n \to \infty$ とすると

α = α + α^{2}, α^{2} = 0, α = 0

である。よって

n \to \infty lim x_{n} = 0

である。

$x_{n}$ は負のまま $0$ に近づく。(1) の $a > 0$ の場合と比べると、 $x = 0$ は「右から来ると離れていき、左から来ると吸い寄せられる」境目になっている。

$a = - 0.9, - 0.5, - 0.1$ のいずれでも20万回後は $- 5 \times 1 0^{- 6}$ 程度で、 $0$ に近づいていた。

「 $α = α + α^{2}$ だから $α = 0$ 」とだけ書くと、極限の存在を示していないことになる。有界性と単調性から収束を先に言う。

$x_{n + 1} - x_{n} = x_{n}^{2}$ は $0$ 以上であって、正とは限らない（ $x_{n} = 0$ なら $0$ ）。ここでは $x_{n} < 0$ なので実際は正である。

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問題文について

(1)a を実数とし、x1​=a、xn+1​=xn​+xn2​（n=1,2,3,…）で数列 {xn​} を定める。a>0 のとき {xn​} が発散することを示す

(2)−1<a<0 のとき、すべての正の整数 n に対して −1<xn​<0 が成り立つことを示す

(3)−1<a<0 のとき、数列 {xn​} の極限を調べる

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