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東北大学　2019年度　前期日程　理系

第5問積分法の解答・解説

x を -x に置きかえる置換・偶関数・奇関数・定積分を定数とおく・関数の決定当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $\int_{- 1}^{1} \frac{sin ^{2} ( π x )}{1 + e ^{x}} d x = \int_{0}^{1} sin^{2} (π x) d x = \frac{1}{2}$ が成り立つことを示す

答 $x \to - x$ の置換で同じ積分の「相棒」を作り、足して $\frac{1}{1 + e ^{x}} + \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} = 1$ を使う

$\frac{1}{1 + e ^{x}}$ は偶関数でも奇関数でもないが、 $x \to - x$ で $\frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}}$ に変わり、もとと足すと $1$ になる。被積分関数の残り $sin^{2} (π x)$ が偶関数なのでうまくいく。

$I = \int_{- 1}^{1} \frac{sin ^{2} ( π x )}{1 + e ^{x}} d x$ とおく。 $x = - u$ と置換すると $d x = - d u$ で、積分区間は $u$ が $1 \to - 1$ になるから

I = \int_{1}^{- 1} \frac{sin ^{2} ( - π u )}{1 + e ^{- u}} (- d u) = \int_{- 1}^{1} \frac{sin ^{2} ( π u )}{1 + e ^{- u}} d u

である（ $sin^{2}$ は偶関数なので $sin^{2} (- π u) = sin^{2} (π u)$ ）。ここで分母・分子に $e^{u}$ を掛けると

I = \int_{- 1}^{1} \frac{e ^{u} sin ^{2} ( π u )}{1 + e ^{u}} d u

である。もとの式と足し合わせると

2 I = \int_{- 1}^{1} sin^{2} (π x) (\frac{1}{1 + e ^{x}} + \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}}) d x = \int_{- 1}^{1} sin^{2} (π x) d x

となる。 $sin^{2} (π x)$ は偶関数なので

2 I = 2 \int_{0}^{1} sin^{2} (π x) d x, I = \int_{0}^{1} sin^{2} (π x) d x

である。最後に半角の公式で

\int_{0}^{1} sin^{2} (π x) d x = \int_{0}^{1} \frac{1 - cos 2 π x}{2} d x = [\frac{x}{2} - \frac{sin 2 π x}{4 π}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}

である。 $■$

太い実線が sin²(πx)/(1+eˣ)、破線は x を -x に置きかえたもの（= eˣsin²(πx)/(1+eˣ)）。2つは y 軸について対称で、足すと細い線の sin²(πx) になる。だから太い線の面積は細い線の面積のちょうど半分。

一般に、 $f$ が偶関数なら $\int_{- c}^{c} \frac{f ( x )}{1 + e ^{x}} d x = \int_{0}^{c} f (x) d x$ が成り立つ。この問題はその特別な場合である。

数値積分すると左の積分も真ん中の積分も $0.500000000$ だった。

$\frac{1}{1 + e ^{x}}$ そのものは偶関数でも奇関数でもない。置換して足す、という手順が必要である。

(2) $(1 + e^{x}) f (x) = sin^{2} (π x) + \int_{- 1}^{1} (e^{x} - e^{t} + 1) f (t) d t$ を満たす関数 $f (x)$ を求める

答 $f (x) = \frac{1}{1 + e ^{x}} (sin^{2} (π x) - \frac{1}{2} + \frac{e ^{x}}{2 ( e - e ^{- 1} - 2 )})$

積分の中は $t$ だけの関数なので、 $\int_{- 1}^{1} f (t) d t$ と $\int_{- 1}^{1} e^{t} f (t) d t$ を定数 $A, B$ とおく。 $f$ を $A, B$ で書いてから、その $f$ を使って $A, B$ を計算し直すと連立方程式になる。

$A = \int_{- 1}^{1} f (t) d t$ 、 $B = \int_{- 1}^{1} e^{t} f (t) d t$ とおく。右辺の積分は

\int_{- 1}^{1} (e^{x} - e^{t} + 1) f (t) d t = e^{x} A - B + A

なので（ $e^{x}$ は $t$ について定数）、もとの等式は

(1 + e^{x}) f (x) = sin^{2} (π x) + A e^{x} + (A - B)

すなわち

f (x) = \frac{sin ^{2} ( π x ) + A e ^{x} + ( A - B )}{1 + e ^{x}}

である。

準備。 よく使う積分を先に求めておく。(1) の結果と同じ置換の議論から

$\int_{- 1}^{1} \frac{sin ^{2} ( π x )}{1 + e ^{x}} d x = \frac{1}{2}$ 、よって $\int_{- 1}^{1} \frac{e ^{x} sin ^{2} ( π x )}{1 + e ^{x}} d x = \int_{- 1}^{1} sin^{2} (π x) d x - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\int_{- 1}^{1} \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} d x = [lo g (1 + e^{x})]_{- 1}^{1} = lo g \frac{1 + e}{1 + e ^{- 1}} = lo g e = 1$
$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{1 + e ^{x}} = \int_{- 1}^{1} d x - 1 = 2 - 1 = 1$
$\int_{- 1}^{1} \frac{e ^{2 x}}{1 + e ^{x}} d x = \int_{- 1}^{1} (e^{x} - \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}}) d x = (e - e^{- 1}) - 1$

$A$ の式。 $f$ を代入して項ごとに積分すると

A = \frac{1}{2} + A \cdot 1 + (A - B) \cdot 1

である。整理すると $0 = \frac{1}{2} + A - B$ 、つまり

A - B = - \frac{1}{2}

である。

$B$ の式。 同じように $e^{x} f (x)$ を積分すると

B = \frac{1}{2} + A {(e - e^{- 1}) - 1} + (A - B) \cdot 1 = \frac{1}{2} + A (e - e^{- 1} - 1) - \frac{1}{2}

すなわち $B = A (e - e^{- 1} - 1)$ である。 $B = A + \frac{1}{2}$ と合わせて

A + \frac{1}{2} = A (e - e^{- 1} - 1), \frac{1}{2} = A (e - e^{- 1} - 2)

である。 $e - e^{- 1} - 2 = 0.3504 \dots \neq = 0$ なので

A = \frac{1}{2 ( e - e ^{- 1} - 2 )} = \frac{e}{2 ( e ^{2} - 2 e - 1 )}

である。 $A - B = - \frac{1}{2}$ を使って、求める関数は

f (x) = \frac{1}{1 + e ^{x}} {sin^{2} (π x) - \frac{1}{2} + \frac{e ^{x}}{2 ( e - e ^{- 1} - 2 )}}

である。

$A$ と $B$ は $A - B = - \frac{1}{2}$ という関係で結ばれるので、 $f$ の式に現れる未知数は実質 $A$ だけになる。 $B$ の式がもう1本の条件になって $A$ が決まる、という流れである。

求めた $f$ を数値積分すると $A = 1.426930918$ 、 $B = 1.926930918$ で、 $\frac{e}{2 ( e ^{2} - 2 e - 1 )} = 1.426930918$ と一致した。 $x$ を5点とってもとの等式の両辺を比べると、すべて小数9桁まで一致した。

$e^{x} - e^{t} + 1$ の $e^{x}$ は $t$ の積分では定数。 $\int_{- 1}^{1} e^{x} f (t) d t = e^{x} A$ であって $B$ ではない。

$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{1 + e ^{x}}$ も (1) と同じ仕組み（被積分関数の分子が偶関数 $1$ ）で $1$ になる。地道に原始関数を求めてもよい。

$A$ の式だけでは $A$ が決まらない（ $A$ が消えて $A - B$ の関係になる）。 $B$ の式も立てる。

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問題文について

(1)∫−11​1+exsin2(πx)​dx=∫01​sin2(πx)dx=21​ が成り立つことを示す

(2)(1+ex)f(x)=sin2(πx)+∫−11​(ex−et+1)f(t)dt を満たす関数 f(x) を求める

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(1) $\int_{- 1}^{1} \frac{sin ^{2} ( π x )}{1 + e ^{x}} d x = \int_{0}^{1} sin^{2} (π x) d x = \frac{1}{2}$ が成り立つことを示す

(2) $(1 + e^{x}) f (x) = sin^{2} (π x) + \int_{- 1}^{1} (e^{x} - e^{t} + 1) f (t) d t$ を満たす関数 $f (x)$ を求める