第1問微分法の解答・解説

接線・直交条件・三角関数の値の範囲・すべて求める当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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答 $y = \frac{π}{2} + k π$ （ $k$ は整数）

接点を $a, b$ とすると傾きは $cos a, cos b$ 。直交条件 $cos a cos b = - 1$ は、 $∣ cos ∣ ≦ 1$ とあわせると片方が $1$ 、もう片方が $- 1$ に決まってしまう。

$y = sin x$ の $x = a$ における接線は、 $y^{'} = cos x$ より

y = cos a (x - a) + sin a

である。接点を $a, b$ （ $a \neq = b$ ）とすると、2つの接線が直交する条件は

cos a cos b = - 1

である。ここで $∣ cos a ∣ ≦ 1$ 、 $∣ cos b ∣ ≦ 1$ なので

1 = ∣ cos a cos b ∣ = ∣ cos a ∣ ∣ cos b ∣ ≦ 1

で、等号が成り立つには $∣ cos a ∣ = ∣ cos b ∣ = 1$ が必要である。積が $- 1$ なので、符号は逆になる。入れかえても同じなので

cos a = 1, cos b = - 1

としてよい。このとき

a = 2 mπ, b = (2 n + 1) π (m, n は整数)

で、 $sin a = sin b = 0$ だから、2つの接線は

ℓ_{1} : y = x - 2 mπ, ℓ_{2} : y = - x + (2 n + 1) π

である。連立して $x - 2 mπ = - x + (2 n + 1) π$ より

x = \frac{( 2 m + 2 n + 1 ) π}{2}

で、 $y = x - 2 mπ$ に代入すると

y = \frac{( 2 m + 2 n + 1 ) π}{2} - 2 mπ = \frac{( 2 n - 2 m + 1 ) π}{2}

である。 $2 n - 2 m + 1$ は $m, n$ を動かすとすべての奇数をとり、逆にどの奇数も $m = 0$ と適当な $n$ で作れる。したがって求める $y$ の値は、奇数 $2 k + 1$ を使って

y = \frac{( 2 k + 1 ) π}{2} = \frac{π}{2} + k π (k は整数)

である。

k = 0 の場合。y = sin x の (0, 0) での接線 y = x と、(π, 0) での接線 y = -x + π は直交し、交点の y 座標は π/2 になる。接線が引けるのは傾きが ±1 になる点、つまり曲線が x 軸と交わる点に限られる。

接線が直交するには傾きの積が $- 1$ だが、 $sin$ の導関数の値は $- 1$ 以上 $1$ 以下しかとれない。だから「どちらも絶対値 $1$ 」という極端な場合しか起こらず、接点が $x$ 軸上に限られてしまう。

$m, n$ を $- 2$ から $2$ まで動かして交点を計算すると、 $\frac{y}{π}$ は $- 3.5, - 2.5, \dots, 4.5$ だけだった。

$cos a cos b = - 1$ を解く段階で、 $∣ cos ∣ ≦ 1$ による絞り込みを使う。ここが山場である。

接点の $m, n$ を動かすと交点は無数にあるが、 $y$ 座標は $\frac{π}{2} + k π$ の形だけになる。

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