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横浜国立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

横国理系 2025年度数学第5問（微分法・積分法（数III））の解答・解説

横浜国立大学（横国理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第5問（分野：微分法・積分法（数III））について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「放物線 $x=y^2$ の法線・法線の通過領域（包絡線）・通過領域と放物線で囲まれた面積」を扱います。

出題テーマ：放物線 $x=y^2$ の法線・法線の通過領域（包絡線）・通過領域と放物線で囲まれた面積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)放物線 $C : x = y^{2}$ 上の点 $P (t^{2}, t)$ における法線 $ℓ$ の方程式を求める

答 $2 t x + y - 2 t^{3} - t = 0$ （または $y = - 2 t x + 2 t^{3} + t$ ）

$x = y^{2}$ の両辺を $y$ で微分して点 $P$ における接線の方向ベクトルを求め、法線の方程式を立てる。

放物線 $C : x = y^{2}$ の両辺を $y$ で微分すると $\frac{d x}{d y} = 2 y$ である。よって点 $P (t^{2}, t)$ における接線の方向ベクトルは $(2 t, 1)$ であり、法線 $ℓ$ の法線ベクトルは $(2 t, 1)$ ととれる。したがって、点 $P (t^{2}, t)$ を通る法線 $ℓ$ の方程式は

2 t (x - t^{2}) + 1 \cdot (y - t) = 0 ⟺ y = - 2 t x + 2 t^{3} + t

（または $2 t x + y - 2 t^{3} - t = 0$ ）である（ $t = 0$ のときも接線は $y$ 軸 $x = 0$ 、法線は $x$ 軸 $y = 0$ となりこの式に含まれる）。

(2)実数 $t$ が $t ≦ 0$ の範囲を動くとき、法線 $ℓ$ が通過する領域を $E$ とし、領域 $D : y^{2} ≦ x ≦ 1$ と $E$ の共通部分 $D \cap E$ を図示する

答 $0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}$ のとき $- x ≦ y ≦ 0$ 、 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ のとき $- x ≦ y ≦ \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$ （図は本文参照）

$x$ を固定して $y$ を $t (≦ 0)$ の3次関数 $g (t) = 2 t^{3} + (1 - 2 x) t$ とみなし、 $t ≦ 0$ における $g (t)$ の値域を求める。

座標平面上の点 $(x, y)$ が領域 $E$ に属するための必要十分条件は、 $t ≦ 0$ の範囲に

y = 2 t^{3} + (1 - 2 x) t

を満たす実数 $t$ が存在することである。 $x$ を固定し、右辺を $t$ の関数 $g (t) = 2 t^{3} + (1 - 2 x) t (t ≦ 0)$ とおくと、 $g (t)$ は連続関数で $g (0) = 0, t \to - \infty lim g (t) = - \infty$ であり、導関数は

g^{'} (t) = 6 t^{2} + 1 - 2 x

である。 $x$ の値によって $t ≦ 0$ における $g (t)$ の増減と値域を場合分けして調べる。

(ア) $x ≦ \frac{1}{2}$ のとき： $1 - 2 x ≧ 0$ であるから、すべての実数 $t ≦ 0$ に対して $g^{'} (t) = 6 t^{2} + 1 - 2 x ≧ 0$ となり、 $g (t)$ は $t ≦ 0$ で単調増加である。よって $t ≦ 0$ における $g (t)$ の最大値は $g (0) = 0$ であり、値域は $y ≦ 0$ となる。
(イ) $x > \frac{1}{2}$ のとき： $g^{'} (t) = 0$ かつ $t ≦ 0$ を解くと $t = - \frac{2 x - 1}{6}$ （これを $α$ とおく）である。 $t < α$ で $g^{'} (t) > 0$ 、 $α < t < 0$ で $g^{'} (t) < 0$ であるから、 $g (t)$ は $t = α$ で極大かつ最大となり、その最大値は

g (α) = α (2 α^{2} + 1 - 2 x) = - \frac{2 x - 1}{6} (\frac{2 x - 1}{3} - (2 x - 1)) = \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}

である。したがって $x > \frac{1}{2}$ における $g (t) (t ≦ 0)$ の値域は $y ≦ \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$ となる。

ここで、 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ において曲線 $y = \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$ と放物線 $y = x$ の上下関係を調べると、 $x = 1$ のときでも $\frac{2 6}{9} (1 - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{9} < 1 = 1$ であり、実際 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ で常に $0 ≦ \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}} < x$ が成り立つ。したがって $D : 0 ≦ x ≦ 1, - x ≦ y ≦ x$ との共通部分 $D \cap E$ は

⎩ ⎨ ⎧ 0 ≦ x ≦ \frac{1}{2} のとき - x ≦ y ≦ 0, \frac{1}{2} ≦ x ≦ 1 のとき - x ≦ y ≦ \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}

となり、図示すると下図の斜線部分（境界線を含む）となる。

放物線 C: x = y² の法線（t ≦ 0）の通過領域 E と D: y² ≦ x ≦ 1 の共通部分 D ∩ E

(3)(2) の領域 $D \cap E$ の面積 $S$ を求める

答 $\frac{30 + 3}{45}$

$x$ 軸より下側の部分（ $0 ≦ x ≦ 1, - x ≦ y ≦ 0$ ）と、 $x$ 軸より上側の部分（ $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$ ）に分けて積分する。

(2) より、領域 $D \cap E$ の面積 $S$ は、 $x$ 軸の下側の面積と上側の面積の和として

S = \int_{0}^{1} x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}} d x = [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \frac{2 6}{9} [\frac{2}{5} (x - \frac{1}{2})^{\frac{5}{2}}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{2}{3} + \frac{4 6}{45} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{5}{2}} = \frac{2}{3} + \frac{4 6}{45} \cdot \frac{1}{4 2} = \frac{2}{3} + \frac{3}{45} = \frac{30 + 3}{45}

と求まる。

2025年度の全5問をまとめて読む

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