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横浜国立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

横国理系 2025年度数学第3問（空間ベクトル）の解答・解説

横浜国立大学（横国理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第3問（分野：空間ベクトル）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「立方体における四面体の条件・4点の共面条件・空間内の直交条件と面上の存在範囲」を扱います。

出題テーマ：立方体における四面体の条件・4点の共面条件・空間内の直交条件と面上の存在範囲当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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横国理系 2025年度数学第3問の設問構成・解答方針（全4問）

(1)の解答・解説へ
1辺の長さ1の立方体 $ABCD - EFGH$ において $AB = a, AD = b, AE = c$ とおき、辺 $AD$ の中点 $P$ 、辺 $GH$ の中点 $Q$ 、辺 $AB$ 上の点 $R$ （ $AR = t, 0 < t < 1$ ）、平面 $BCGF$ 上の点 $S$ （ $AS = α a + β b + γ c$ ）について、 $α$ の値および $AP, AQ, AR$ を求める
(2)の解答・解説へ
4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあるとき、 $β$ を $t, γ$ を用いて表す
(3)の解答・解説へ
4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあり、かつ直線 $PS$ と直線 $QR$ が垂直であるとき、 $β, γ$ をそれぞれ $t$ を用いて表す
(4)の解答・解説へ
(3) の点 $S$ が立方体の面 $BCGF$ （周を含む）上にあるような $t$ の値の範囲を求める

(1)1辺の長さ1の立方体 $ABCD - EFGH$ において $AB = a, AD = b, AE = c$ とおき、辺 $AD$ の中点 $P$ 、辺 $GH$ の中点 $Q$ 、辺 $AB$ 上の点 $R$ （ $AR = t, 0 < t < 1$ ）、平面 $BCGF$ 上の点 $S$ （ $AS = α a + β b + γ c$ ）について、 $α$ の値および $AP, AQ, AR$ を求める

答 $α = 1, AP = \frac{1}{2} b, AQ = \frac{1}{2} a + b + c, AR = t a$

立方体の各頂点の位置ベクトルを基本ベクトル $a, b, c$ で表す。

平面 $BCGF$ は点 $B (a)$ を通り $b, c$ で張られる平面であるから、平面 $BCGF$ 上の点 $S$ は実数 $β, γ$ を用いて $AS = a + β b + γ c$ と表される。よって

α = 1

である。また、点 $P$ は辺 $AD$ の中点、点 $Q$ は辺 $GH$ の中点（ $AG = a + b + c, AH = b + c$ ）、点 $R$ は辺 $AB$ を $t : (1 - t)$ に内分する点であるから

AP = \frac{1}{2} b, AQ = \frac{AG + AH}{2} = \frac{1}{2} a + b + c, AR = t a

である。

(2)4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあるとき、 $β$ を $t, γ$ を用いて表す

答 $β = \frac{( 2 t + 1 ) γ + 2 t - 2}{4 t}$

$PS = x PQ + y PR$ とおいて $a, b, c$ の係数を比較する。

(1) より、点 $P$ を始点とする各ベクトルは

PQ PR PS = AQ - AP = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + c, = AR - AP = t a - \frac{1}{2} b, = AS - AP = a + (β - \frac{1}{2}) b + γ c

である。3点 $P, Q, R$ は同一直線上にはないから、4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあるための必要十分条件は、実数 $x, y$ が存在して $PS = x PQ + y PR$ と表されることである。 $a, b, c$ は1次独立であるから、各係数を比較して

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} x + t y = 1 \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} y = β - \frac{1}{2} x = γ

を得る。 $x = γ$ を第1式に代入すると、 $t > 0$ より $y = \frac{2 - γ}{2 t}$ となる。これらを第2式に代入して

β = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} γ - \frac{2 - γ}{4 t} = \frac{2 t + 2 t γ - 2 + γ}{4 t} = \frac{( 2 t + 1 ) γ + 2 t - 2}{4 t}

を得る。

(3)4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあり、かつ直線 $PS$ と直線 $QR$ が垂直であるとき、 $β, γ$ をそれぞれ $t$ を用いて表す

答 $β = \frac{2 t ^{2} + 3 t - 2}{6 t + 1}, γ = \frac{4 t ^{2} - 2 t + 2}{6 t + 1}$

互いに直交する長さ1の基本ベクトル $a, b, c$ について $PS \cdot QR = 0$ を立て、(2) の関係式と連立する。

立方体の隣り合う3辺より $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1, a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$ である。また

QR = AR - AQ = (t - \frac{1}{2}) a - b - c

であるから、 $PS ⊥ QR$ すなわち $PS \cdot QR = 0$ は

1 \cdot (t - \frac{1}{2}) + (β - \frac{1}{2}) \cdot (- 1) + γ \cdot (- 1) = 0 ⟺ β + γ = t

と表される。これに (2) の $β = \frac{( 2 t + 1 ) γ + 2 t - 2}{4 t}$ を代入すると

\frac{( 2 t + 1 ) γ + 2 t - 2}{4 t} + γ = t ⟺ (6 t + 1) γ = 4 t^{2} - 2 t + 2

となる。 $0 < t < 1$ より $6 t + 1 > 0$ であるから

γ = \frac{4 t ^{2} - 2 t + 2}{6 t + 1}

であり、 $β = t - γ$ より

β = t - \frac{4 t ^{2} - 2 t + 2}{6 t + 1} = \frac{2 t ^{2} + 3 t - 2}{6 t + 1}

を得る。

(4)(3) の点 $S$ が立方体の面 $BCGF$ （周を含む）上にあるような $t$ の値の範囲を求める

答 $\frac{1}{2} ≦ t < 1$

点 $S$ が正方形 $BCGF$ の周および内部にある条件 $0 ≦ β ≦ 1, 0 ≦ γ ≦ 1$ を $0 < t < 1$ のもとで解く。

平面 $BCGF$ 上の点 $S (AS = a + β b + γ c)$ が正方形 $BCGF$ （周を含む）上にあるための必要十分条件は

0 ≦ β ≦ 1 かつ 0 ≦ γ ≦ 1

である。 $0 < t < 1$ において分母 $6 t + 1 > 0$ であることに注意して各不等式を調べる。

$β ≧ 0 ⟺ 2 t^{2} + 3 t - 2 = (2 t - 1) (t + 2) ≧ 0$ 。 $t > 0$ より $t ≧ \frac{1}{2}$ 。
$β ≦ 1 ⟺ 2 t^{2} + 3 t - 2 ≦ 6 t + 1 ⟺ 2 t^{2} - 3 t - 3 ≦ 0$ 。 $0 < t < 1$ では $2 t^{2} - 3 t - 3 < 2 - 0 - 3 = - 1 < 0$ より常に成り立つ。
$γ ≧ 0 ⟺ 4 t^{2} - 2 t + 2 = (2 t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0$ より常に成り立つ。
$γ ≦ 1 ⟺ 4 t^{2} - 2 t + 2 ≦ 6 t + 1 ⟺ 4 t^{2} - 8 t + 1 ≦ 0 ⟺ \frac{2 - 3}{2} ≦ t ≦ \frac{2 + 3}{2}$ 。ここで $\frac{2 - 3}{2} < \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$ 、 $\frac{2 + 3}{2} > 1$ であるから、 $\frac{1}{2} ≦ t < 1$ の範囲では常に成り立つ。

以上より、求める $t$ の値の範囲は

\frac{1}{2} ≦ t < 1

である。

2025年度の全5問をまとめて読む

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問題文について

(1)1辺の長さ1の立方体 ABCD-EFGH において AB=a, AD=b, AE=c とおき、辺 AD の中点 P、辺 GH の中点 Q、辺 AB 上の点 R（AR=t, 0<t<1）、平面 BCGF 上の点 S（AS=αa+βb+γc）について、α の値および AP,AQ​,AR を求める

(2)4点 P,Q,R,S が同一平面上にあるとき、β を t,γ を用いて表す

(3)4点 P,Q,R,S が同一平面上にあり、かつ直線 PS と直線 QR が垂直であるとき、β,γ をそれぞれ t を用いて表す

(4)(3) の点 S が立方体の面 BCGF（周を含む）上にあるような t の値の範囲を求める