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横浜国立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

横国理系 2025年度数学第1問（微分法・積分法（数III））の解答・解説

横浜国立大学（横国理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第1問（分野：微分法・積分法（数III））について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「三角関数の商の微分と凹凸・変曲点・対数関数の定積分と極限」を扱います。

出題テーマ：三角関数の商の微分と凹凸・変曲点・対数関数の定積分と極限当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)関数 $f (x) = \frac{cos x}{2 + sin x} (0 < x < 2 π)$ の増減・極値・グラフの凹凸および変曲点を調べる

答 $0 < x ≦ \frac{7}{6} π$ で単調減少、 $\frac{7}{6} π ≦ x ≦ \frac{11}{6} π$ で単調増加、 $\frac{11}{6} π ≦ x < 2 π$ で単調減少。極小値 $f (\frac{7}{6} π) = - \frac{3}{3}$ 、極大値 $f (\frac{11}{6} π) = \frac{3}{3}$ 。 $0 < x < \frac{π}{2}$ および $\frac{3}{2} π < x < 2 π$ で上に凸、 $\frac{π}{2} < x < \frac{3}{2} π$ で下に凸。変曲点は $(\frac{π}{2}, 0), (\frac{3}{2} π, 0)$

商の微分法により $f^{'} (x)$ と $f^{''} (x)$ を因数分解した形で求め、 $2 + sin x > 0$ に注意して分子の符号変化から増減と凹凸を判定する。

$0 < x < 2 π$ において常に $2 + sin x ≧ 1 > 0$ である。商の微分法により第1次導関数 $f^{'} (x)$ を計算すると

f^{'} (x) = \frac{- sin x ( 2 + sin x ) - cos x \cdot cos x}{( 2 + sin x ) ^{2}} = \frac{- 2 sin x - ( sin ^{2} x + cos ^{2} x )}{( 2 + sin x ) ^{2}} = - \frac{2 sin x + 1}{( 2 + sin x ) ^{2}}

となる。 $0 < x < 2 π$ で $f^{'} (x) = 0$ となるのは $sin x = - \frac{1}{2}$ 、すなわち $x = \frac{7}{6} π, \frac{11}{6} π$ のときである。さらに第2次導関数 $f^{''} (x)$ を計算すると

f^{''} (x) = - \frac{2 cos x ( 2 + sin x ) ^{2} - ( 2 sin x + 1 ) \cdot 2 ( 2 + sin x ) cos x}{( 2 + sin x ) ^{4}} = - \frac{2 cos x { ( 2 + sin x ) - ( 2 sin x + 1 ) }}{( 2 + sin x ) ^{3}} = \frac{2 cos x ( sin x - 1 )}{( 2 + sin x ) ^{3}}

となる。 $0 < x < 2 π$ において $sin x - 1 ≦ 0$ であり、 $sin x - 1 = 0$ となるのは $x = \frac{π}{2}$ のみである。また $cos x = 0$ となるのは $x = \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π$ のときであり、

$0 < x < \frac{π}{2}$ および $\frac{3}{2} π < x < 2 π$ では $cos x > 0, sin x - 1 < 0$ より $f^{''} (x) < 0$ （上に凸）
$\frac{π}{2} < x < \frac{3}{2} π$ では $cos x < 0, sin x - 1 < 0$ より $f^{''} (x) > 0$ （下に凸）

となる（ $x = \frac{π}{2}$ の前後でも $sin x - 1 < 0$ が保たれたまま $cos x$ の符号が正から負へ変わるため、 $f^{''} (x)$ の符号は負から正へ変わる）。したがって増減と凹凸の表は次のようになる。

x f^{'} (x) f^{''} (x) f (x) (0) (\frac{1}{2}) \dots - - ↘ 上に凸 \frac{π}{2} - 00 \dots - + ↘ 下に凸 \frac{7}{6} π 0 + - \frac{3}{3} \dots + + ↗ 下に凸 \frac{3}{2} π + 00 \dots + - ↗ 上に凸 \frac{11}{6} π 0 - \frac{3}{3} \dots - - ↘ 上に凸 (2 π) (\frac{1}{2})

関数 y = cos x / (2 + sin x)（0 < x < 2π）のグラフ（極小・極大と変曲点）

以上より、増減・極値・凹凸・変曲点は次のとおりである。

増減： $0 < x ≦ \frac{7}{6} π$ および $\frac{11}{6} π ≦ x < 2 π$ で単調減少、 $\frac{7}{6} π ≦ x ≦ \frac{11}{6} π$ で単調増加
極値： $x = \frac{7}{6} π$ で極小値 $- \frac{3}{3}$ 、 $x = \frac{11}{6} π$ で極大値 $\frac{3}{3}$
凹凸： $0 < x < \frac{π}{2}$ および $\frac{3}{2} π < x < 2 π$ で上に凸、 $\frac{π}{2} < x < \frac{3}{2} π$ で下に凸
変曲点： $(\frac{π}{2}, 0), (\frac{3}{2} π, 0)$

(2)極限 $t \to \infty lim (\int_{1}^{t} lo g \frac{x + 1}{x} d x - lo g t)$ を求める

答 $1 - 2 lo g 2$

$\int lo g x d x = x lo g x - x + C$ を用いるか部分積分を行って定積分を $t$ の式で表し、 $lo g \frac{t + 1}{t} \to 0$ と $(t + 1) lo g \frac{t + 1}{t} = lo g (1 + \frac{1}{t})^{t} + lo g (1 + \frac{1}{t})$ の形に整理して極限をとる。

$t > 1$ とする。 $(x)^{'} = 1$ とみて部分積分を行うと、 $(lo g \frac{x + 1}{x})^{'} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} = - \frac{1}{x ( x + 1 )}$ であるから

\int_{1}^{t} lo g \frac{x + 1}{x} d x = [x lo g \frac{x + 1}{x}]_{1}^{t} + \int_{1}^{t} x \cdot \frac{1}{x ( x + 1 )} d x = t lo g \frac{t + 1}{t} - lo g 2 + [lo g (x + 1)]_{1}^{t} = t lo g (t + 1) - t lo g t - lo g 2 + lo g (t + 1) - lo g 2 = (t + 1) lo g (t + 1) - t lo g t - 2 lo g 2

となる。よって、求める式の括弧内は

\int_{1}^{t} lo g \frac{x + 1}{x} d x - lo g t = (t + 1) lo g (t + 1) - (t + 1) lo g t - 2 lo g 2 = (t + 1) lo g (1 + \frac{1}{t}) - 2 lo g 2

と変形できる。ここで $h = \frac{1}{t}$ とおくと、 $t \to \infty$ のとき $h \to + 0$ であり、 $h \to 0 lim \frac{lo g ( 1 + h )}{h} = 1$ であるから

t \to \infty lim (t + 1) lo g (1 + \frac{1}{t}) = h \to + 0 lim (1 + h) \frac{lo g ( 1 + h )}{h} = 1 \cdot 1 = 1

が成り立つ。したがって

t \to \infty lim (\int_{1}^{t} lo g \frac{x + 1}{x} d x - lo g t) = 1 - 2 lo g 2

である。

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