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横浜国立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

横国理系 2025年度数学の解答・解説

横浜国立大学（横国理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学全5問（第1問：微分法・積分法（数III）、第2問：確率・平面ベクトル、第3問：空間ベクトル、第4問：微分法・数列（数III）、第5問：微分法・積分法（数III））について、当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を大問ごとに掲載しています。

最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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第1問　微分法・積分法（数III）

三角関数の商の微分と凹凸・変曲点・対数関数の定積分と極限当サイトの体感難易度：標準

(1)関数 $f (x) = \frac{cos x}{2 + sin x} (0 < x < 2 π)$ の増減・極値・グラフの凹凸および変曲点を調べる

答 $0 < x ≦ \frac{7}{6} π$ で単調減少、 $\frac{7}{6} π ≦ x ≦ \frac{11}{6} π$ で単調増加、 $\frac{11}{6} π ≦ x < 2 π$ で単調減少。極小値 $f (\frac{7}{6} π) = - \frac{3}{3}$ 、極大値 $f (\frac{11}{6} π) = \frac{3}{3}$ 。 $0 < x < \frac{π}{2}$ および $\frac{3}{2} π < x < 2 π$ で上に凸、 $\frac{π}{2} < x < \frac{3}{2} π$ で下に凸。変曲点は $(\frac{π}{2}, 0), (\frac{3}{2} π, 0)$

商の微分法により $f^{'} (x)$ と $f^{''} (x)$ を因数分解した形で求め、 $2 + sin x > 0$ に注意して分子の符号変化から増減と凹凸を判定する。

$0 < x < 2 π$ において常に $2 + sin x ≧ 1 > 0$ である。商の微分法により第1次導関数 $f^{'} (x)$ を計算すると

f^{'} (x) = \frac{- sin x ( 2 + sin x ) - cos x \cdot cos x}{( 2 + sin x ) ^{2}} = \frac{- 2 sin x - ( sin ^{2} x + cos ^{2} x )}{( 2 + sin x ) ^{2}} = - \frac{2 sin x + 1}{( 2 + sin x ) ^{2}}

となる。 $0 < x < 2 π$ で $f^{'} (x) = 0$ となるのは $sin x = - \frac{1}{2}$ 、すなわち $x = \frac{7}{6} π, \frac{11}{6} π$ のときである。さらに第2次導関数 $f^{''} (x)$ を計算すると

f^{''} (x) = - \frac{2 cos x ( 2 + sin x ) ^{2} - ( 2 sin x + 1 ) \cdot 2 ( 2 + sin x ) cos x}{( 2 + sin x ) ^{4}} = - \frac{2 cos x { ( 2 + sin x ) - ( 2 sin x + 1 ) }}{( 2 + sin x ) ^{3}} = \frac{2 cos x ( sin x - 1 )}{( 2 + sin x ) ^{3}}

となる。 $0 < x < 2 π$ において $sin x - 1 ≦ 0$ であり、 $sin x - 1 = 0$ となるのは $x = \frac{π}{2}$ のみである。また $cos x = 0$ となるのは $x = \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π$ のときであり、

$0 < x < \frac{π}{2}$ および $\frac{3}{2} π < x < 2 π$ では $cos x > 0, sin x - 1 < 0$ より $f^{''} (x) < 0$ （上に凸）
$\frac{π}{2} < x < \frac{3}{2} π$ では $cos x < 0, sin x - 1 < 0$ より $f^{''} (x) > 0$ （下に凸）

となる（ $x = \frac{π}{2}$ の前後でも $sin x - 1 < 0$ が保たれたまま $cos x$ の符号が正から負へ変わるため、 $f^{''} (x)$ の符号は負から正へ変わる）。したがって増減と凹凸の表は次のようになる。

x f^{'} (x) f^{''} (x) f (x) (0) (\frac{1}{2}) \dots - - ↘ 上に凸 \frac{π}{2} - 00 \dots - + ↘ 下に凸 \frac{7}{6} π 0 + - \frac{3}{3} \dots + + ↗ 下に凸 \frac{3}{2} π + 00 \dots + - ↗ 上に凸 \frac{11}{6} π 0 - \frac{3}{3} \dots - - ↘ 上に凸 (2 π) (\frac{1}{2})

関数 y = cos x / (2 + sin x)（0 < x < 2π）のグラフ（極小・極大と変曲点）

以上より、増減・極値・凹凸・変曲点は次のとおりである。

増減： $0 < x ≦ \frac{7}{6} π$ および $\frac{11}{6} π ≦ x < 2 π$ で単調減少、 $\frac{7}{6} π ≦ x ≦ \frac{11}{6} π$ で単調増加
極値： $x = \frac{7}{6} π$ で極小値 $- \frac{3}{3}$ 、 $x = \frac{11}{6} π$ で極大値 $\frac{3}{3}$
凹凸： $0 < x < \frac{π}{2}$ および $\frac{3}{2} π < x < 2 π$ で上に凸、 $\frac{π}{2} < x < \frac{3}{2} π$ で下に凸
変曲点： $(\frac{π}{2}, 0), (\frac{3}{2} π, 0)$

(2)極限 $t \to \infty lim (\int_{1}^{t} lo g \frac{x + 1}{x} d x - lo g t)$ を求める

答 $1 - 2 lo g 2$

$\int lo g x d x = x lo g x - x + C$ を用いるか部分積分を行って定積分を $t$ の式で表し、 $lo g \frac{t + 1}{t} \to 0$ と $(t + 1) lo g \frac{t + 1}{t} = lo g (1 + \frac{1}{t})^{t} + lo g (1 + \frac{1}{t})$ の形に整理して極限をとる。

$t > 1$ とする。 $(x)^{'} = 1$ とみて部分積分を行うと、 $(lo g \frac{x + 1}{x})^{'} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} = - \frac{1}{x ( x + 1 )}$ であるから

\int_{1}^{t} lo g \frac{x + 1}{x} d x = [x lo g \frac{x + 1}{x}]_{1}^{t} + \int_{1}^{t} x \cdot \frac{1}{x ( x + 1 )} d x = t lo g \frac{t + 1}{t} - lo g 2 + [lo g (x + 1)]_{1}^{t} = t lo g (t + 1) - t lo g t - lo g 2 + lo g (t + 1) - lo g 2 = (t + 1) lo g (t + 1) - t lo g t - 2 lo g 2

となる。よって、求める式の括弧内は

\int_{1}^{t} lo g \frac{x + 1}{x} d x - lo g t = (t + 1) lo g (t + 1) - (t + 1) lo g t - 2 lo g 2 = (t + 1) lo g (1 + \frac{1}{t}) - 2 lo g 2

と変形できる。ここで $h = \frac{1}{t}$ とおくと、 $t \to \infty$ のとき $h \to + 0$ であり、 $h \to 0 lim \frac{lo g ( 1 + h )}{h} = 1$ であるから

t \to \infty lim (t + 1) lo g (1 + \frac{1}{t}) = h \to + 0 lim (1 + h) \frac{lo g ( 1 + h )}{h} = 1 \cdot 1 = 1

が成り立つ。したがって

t \to \infty lim (\int_{1}^{t} lo g \frac{x + 1}{x} d x - lo g t) = 1 - 2 lo g 2

である。

第1問だけのページ

第2問　確率・平面ベクトル

正五角形の頂点とさいころの目・単位円上のベクトルの和と平行条件・条件付き確率当サイトの体感難易度：標準

(1)さいころを3回投げて出た目を $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ とし、点 $A_{k} (cos \frac{2 n _{k}}{5} π, sin \frac{2 n _{k}}{5} π) (k = 1, 2, 3)$ をとるとき、3点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ がすべて一致する確率を求める

答 $\frac{1}{18}$

さいころの目 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のうち、 $n = 1$ と $n = 6$ のみが同じ点を与えることに注意して場合の数を数える。

さいころを3回投げるときの目の出方は全部で $6^{3} = 216$ 通りであり、これらは同様に確からしい。

点 $A_{k}$ は単位円上の点で偏角が $\frac{2 n _{k}}{5} π$ であるから、2つの目 $m, n \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ が同じ点を与えるための必要十分条件は $m \equiv n (mod 5)$ である。したがって、5で割った余りによって目の集合は

{1, 6}, {2}, {3}, {4}, {5}

の5つのグループ（正五角形の5頂点に対応）に分かれる。3点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ がすべて一致するのは、 $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて同じグループに属するときであるから、その場合の数は

2^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} = 8 + 4 = 12 （通り）

である。よって求める確率は

\frac{12}{216} = \frac{1}{18}

となる。

(2) $OA_{1} + OA_{2}$ と $OA_{3}$ が平行である確率を求める

答 $\frac{11}{54}$

正五角形の頂点において $OA_{1} + OA_{2} \neq = 0$ であることを確認し、単位ベクトル $OA_{1}, OA_{2}$ の和の方向が角の二等分線方向（すなわち $n_{1} + n_{2} \equiv 2 n_{3} (mod 5)$ ）になることから数え上げる。

正五角形のどの2頂点も原点に関して対称ではない（偏角の差が $π$ の奇数倍にならない）から、常に $OA_{1} + OA_{2} \neq = 0$ である。また $∣ OA_{1} ∣ = ∣ OA_{2} ∣ = 1$ より、ひし形の対角線の性質（または和積の公式）から、 $OA_{1} + OA_{2}$ は直線 $OA_{3}$ と平行であるための必要十分条件が

点 A_{1} と点 A_{2} が直線 OA_{3} に関して対称（ A_{1} = A_{2} = A_{3} を含む）

で与えられる。偏角の条件で書けば $\frac{2 n _{1}}{5} π + \frac{2 n _{2}}{5} π \equiv 2 \cdot \frac{2 n _{3}}{5} π (mod 2 π)$ 、すなわち

n_{1} + n_{2} \equiv 2 n_{3} (mod 5)

である。 $g cd (2, 5) = 1$ であるから、任意の組 $(n_{1}, n_{2})$ に対して $2 n_{3} \equiv n_{1} + n_{2} (mod 5)$ を満たす5で割った余りのクラスはただ1つ決まる。

$n_{3} \in {1, 6}$ （すなわち $2 n_{3} \equiv 2 (mod 5)$ ）となるのは $n_{1} + n_{2} \equiv 2 (mod 5)$ のときである。5で割った余りの組 $(r_{1}, r_{2}) (r_{i} \in {1, 2, 3, 4, 0})$ とそれぞれの目の出方の数（ $r_{i} = 1$ のとき2通り、他は1通り）を調べると、 $(r_{1}, r_{2}) = (1, 1)$ が $2 \times 2 = 4$ 通り、 $(2, 0), (0, 2), (3, 4), (4, 3)$ が各 $1 \times 1 = 1$ 通りで、 $(n_{1}, n_{2})$ は計 $4 + 4 = 8$ 通り。それぞれに対し $n_{3} \in {1, 6}$ が2通りあるから、 $8 \times 2 = 16$ 通り。
$n_{3} \in {2, 3, 4, 5}$ のときは、各 $(n_{1}, n_{2})$ に対して対応する $n_{3}$ は1通りずつである。全 $6^{2} = 36$ 通りの $(n_{1}, n_{2})$ のうち $n_{1} + n_{2} \equiv 2 (mod 5)$ となる8通りを除いた $36 - 8 = 28$ 通りに対して、それぞれ $n_{3}$ がただ1つ定まるから $28 \times 1 = 28$ 通り。

以上より、条件を満たす $(n_{1}, n_{2}, n_{3})$ の組は全部で $16 + 28 = 44$ 通りである。したがって求める確率は

\frac{44}{216} = \frac{11}{54}

である。

(3) $OA_{1} + OA_{2}$ と $OA_{3}$ が平行であるとき、出た目 $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて奇数である条件付き確率を求める

答 $\frac{5}{44}$

$n_{1}, n_{2}, n_{3} \in {1, 3, 5}$ の範囲で $n_{1} + n_{2} \equiv 2 n_{3} (mod 5)$ を満たす組を数え、(2) の44通りで割る。

$n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて奇数、すなわち $n_{1}, n_{2}, n_{3} \in {1, 3, 5}$ であり、かつ $n_{1} + n_{2} \equiv 2 n_{3} (mod 5)$ を満たす組を $n_{3}$ の値で場合分けして数える。

$n_{3} = 1$ のとき： $n_{1} + n_{2} \equiv 2 (mod 5)$ 。 ${1, 3, 5}$ の中から和が5で割って2余る組を探すと $(n_{1}, n_{2}) = (1, 1)$ の1通りのみ。
$n_{3} = 3$ のとき： $n_{1} + n_{2} \equiv 6 \equiv 1 (mod 5)$ 。 ${1, 3, 5}$ の中では $(n_{1}, n_{2}) = (1, 5), (5, 1), (3, 3)$ の3通り。
$n_{3} = 5$ のとき： $n_{1} + n_{2} \equiv 10 \equiv 0 (mod 5)$ 。 ${1, 3, 5}$ の中では $(n_{1}, n_{2}) = (5, 5)$ の1通りのみ。

よって、 $OA_{1} + OA_{2}$ と $OA_{3}$ が平行であり、かつ $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて奇数となる目の出方は $1 + 3 + 1 = 5$ 通りである。(2) より平行となる目の出方は全部で44通りであるから、求める条件付き確率は

\frac{5}{44}

である。

第2問だけのページ

第3問　空間ベクトル

立方体における四面体の条件・4点の共面条件・空間内の直交条件と面上の存在範囲当サイトの体感難易度：標準

(1)1辺の長さ1の立方体 $ABCD - EFGH$ において $AB = a, AD = b, AE = c$ とおき、辺 $AD$ の中点 $P$ 、辺 $GH$ の中点 $Q$ 、辺 $AB$ 上の点 $R$ （ $AR = t, 0 < t < 1$ ）、平面 $BCGF$ 上の点 $S$ （ $AS = α a + β b + γ c$ ）について、 $α$ の値および $AP, AQ, AR$ を求める

答 $α = 1, AP = \frac{1}{2} b, AQ = \frac{1}{2} a + b + c, AR = t a$

立方体の各頂点の位置ベクトルを基本ベクトル $a, b, c$ で表す。

平面 $BCGF$ は点 $B (a)$ を通り $b, c$ で張られる平面であるから、平面 $BCGF$ 上の点 $S$ は実数 $β, γ$ を用いて $AS = a + β b + γ c$ と表される。よって

α = 1

である。また、点 $P$ は辺 $AD$ の中点、点 $Q$ は辺 $GH$ の中点（ $AG = a + b + c, AH = b + c$ ）、点 $R$ は辺 $AB$ を $t : (1 - t)$ に内分する点であるから

AP = \frac{1}{2} b, AQ = \frac{AG + AH}{2} = \frac{1}{2} a + b + c, AR = t a

である。

(2)4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあるとき、 $β$ を $t, γ$ を用いて表す

答 $β = \frac{( 2 t + 1 ) γ + 2 t - 2}{4 t}$

$PS = x PQ + y PR$ とおいて $a, b, c$ の係数を比較する。

(1) より、点 $P$ を始点とする各ベクトルは

PQ PR PS = AQ - AP = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + c, = AR - AP = t a - \frac{1}{2} b, = AS - AP = a + (β - \frac{1}{2}) b + γ c

である。3点 $P, Q, R$ は同一直線上にはないから、4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあるための必要十分条件は、実数 $x, y$ が存在して $PS = x PQ + y PR$ と表されることである。 $a, b, c$ は1次独立であるから、各係数を比較して

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} x + t y = 1 \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} y = β - \frac{1}{2} x = γ

を得る。 $x = γ$ を第1式に代入すると、 $t > 0$ より $y = \frac{2 - γ}{2 t}$ となる。これらを第2式に代入して

β = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} γ - \frac{2 - γ}{4 t} = \frac{2 t + 2 t γ - 2 + γ}{4 t} = \frac{( 2 t + 1 ) γ + 2 t - 2}{4 t}

を得る。

(3)4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあり、かつ直線 $PS$ と直線 $QR$ が垂直であるとき、 $β, γ$ をそれぞれ $t$ を用いて表す

答 $β = \frac{2 t ^{2} + 3 t - 2}{6 t + 1}, γ = \frac{4 t ^{2} - 2 t + 2}{6 t + 1}$

互いに直交する長さ1の基本ベクトル $a, b, c$ について $PS \cdot QR = 0$ を立て、(2) の関係式と連立する。

立方体の隣り合う3辺より $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1, a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$ である。また

QR = AR - AQ = (t - \frac{1}{2}) a - b - c

であるから、 $PS ⊥ QR$ すなわち $PS \cdot QR = 0$ は

1 \cdot (t - \frac{1}{2}) + (β - \frac{1}{2}) \cdot (- 1) + γ \cdot (- 1) = 0 ⟺ β + γ = t

と表される。これに (2) の $β = \frac{( 2 t + 1 ) γ + 2 t - 2}{4 t}$ を代入すると

\frac{( 2 t + 1 ) γ + 2 t - 2}{4 t} + γ = t ⟺ (6 t + 1) γ = 4 t^{2} - 2 t + 2

となる。 $0 < t < 1$ より $6 t + 1 > 0$ であるから

γ = \frac{4 t ^{2} - 2 t + 2}{6 t + 1}

であり、 $β = t - γ$ より

β = t - \frac{4 t ^{2} - 2 t + 2}{6 t + 1} = \frac{2 t ^{2} + 3 t - 2}{6 t + 1}

を得る。

(4)(3) の点 $S$ が立方体の面 $BCGF$ （周を含む）上にあるような $t$ の値の範囲を求める

答 $\frac{1}{2} ≦ t < 1$

点 $S$ が正方形 $BCGF$ の周および内部にある条件 $0 ≦ β ≦ 1, 0 ≦ γ ≦ 1$ を $0 < t < 1$ のもとで解く。

平面 $BCGF$ 上の点 $S (AS = a + β b + γ c)$ が正方形 $BCGF$ （周を含む）上にあるための必要十分条件は

0 ≦ β ≦ 1 かつ 0 ≦ γ ≦ 1

である。 $0 < t < 1$ において分母 $6 t + 1 > 0$ であることに注意して各不等式を調べる。

$β ≧ 0 ⟺ 2 t^{2} + 3 t - 2 = (2 t - 1) (t + 2) ≧ 0$ 。 $t > 0$ より $t ≧ \frac{1}{2}$ 。
$β ≦ 1 ⟺ 2 t^{2} + 3 t - 2 ≦ 6 t + 1 ⟺ 2 t^{2} - 3 t - 3 ≦ 0$ 。 $0 < t < 1$ では $2 t^{2} - 3 t - 3 < 2 - 0 - 3 = - 1 < 0$ より常に成り立つ。
$γ ≧ 0 ⟺ 4 t^{2} - 2 t + 2 = (2 t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0$ より常に成り立つ。
$γ ≦ 1 ⟺ 4 t^{2} - 2 t + 2 ≦ 6 t + 1 ⟺ 4 t^{2} - 8 t + 1 ≦ 0 ⟺ \frac{2 - 3}{2} ≦ t ≦ \frac{2 + 3}{2}$ 。ここで $\frac{2 - 3}{2} < \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$ 、 $\frac{2 + 3}{2} > 1$ であるから、 $\frac{1}{2} ≦ t < 1$ の範囲では常に成り立つ。

以上より、求める $t$ の値の範囲は

\frac{1}{2} ≦ t < 1

である。

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第4問　微分法・数列（数III）

指数関数の接線不等式・漸化式の比の評価と望遠鏡積当サイトの体感難易度：標準

(1)すべての実数 $x$ に対して $e^{x} ≧ x + 1$ が成り立つことを示す

答（証明は本文参照）

$g (x) = e^{x} - (x + 1)$ とおいて微分し、 $x = 0$ で最小値 $0$ をとることを示す。

関数 $g (x) = e^{x} - x - 1$ を考えると、すべての実数 $x$ で微分可能であり

g^{'} (x) = e^{x} - 1

である。 $x < 0$ のとき $g^{'} (x) < 0$ 、 $x = 0$ のとき $g^{'} (0) = 0$ 、 $x > 0$ のとき $g^{'} (x) > 0$ であるから、 $g (x)$ は $x ≦ 0$ で単調減少、 $x ≧ 0$ で単調増加となり、 $x = 0$ で最小値 $g (0) = e^{0} - 0 - 1 = 0$ をとる。したがって、すべての実数 $x$ に対して $g (x) ≧ 0$ 、すなわち

e^{x} ≧ x + 1

が成り立つ（等号成立は $x = 0$ のときのみ）。（証明終）

(2) $a_{1} = 1, a_{n} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} a_{n - 1} (n = 2, 3, 4, \dots)$ で定められる数列 ${a_{n}}$ について、(i) $n ≧ 2$ で $1 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}$ 、(ii) $n ≧ 1$ で $1 ≦ a_{n} < e^{\frac{1}{3}}$ を示す

答（証明は本文参照）

(i) 左側の不等式は $(1 - \frac{1}{3 n})^{3}$ を展開して $1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n}$ と比較し、右側の不等式は $\frac{n}{n - 1} = 1 + \frac{1}{n - 1}$ と $1 - \frac{1}{3 n}$ のそれぞれに (1) の不等式 $1 + x < e^{x} (x \neq = 0)$ を適用する。(ii) $k = 2, \dots, n$ について (i) の辺々の積をとり、部分分数分解で指数の和を計算する。

(i) の証明　 $a_{1} = 1 > 0$ および漸化式より、すべての自然数 $n$ について $a_{n} > 0$ であり、 $n ≧ 2$ のとき

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3}

である。まず左側の不等式を示す。 $(1 - \frac{1}{3 n})^{3}$ を展開すると

(1 - \frac{1}{3 n})^{3} = 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{3 n ^{2}} - \frac{1}{27 n ^{3}} = \frac{n - 1}{n} + \frac{9 n - 1}{27 n ^{3}} > \frac{n - 1}{n}

（ $n ≧ 2$ より $9 n - 1 > 0$ ）であるから、両辺に $\frac{n}{n - 1} > 0$ を掛けると

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} > 1

を得る。次に右側の不等式を示す。(1) で示した不等式 $1 + x ≦ e^{x}$ において $x \neq = 0$ のとき等号は成り立たないから、 $x = \frac{1}{n - 1} \neq = 0$ および $x = - \frac{1}{3 n} \neq = 0$ を代入すると

\frac{n}{n - 1} = 1 + \frac{1}{n - 1} < e^{\frac{1}{n - 1}}, 0 < 1 - \frac{1}{3 n} < e^{- \frac{1}{3 n}}

が成り立つ。第2式を3乗して第1式と辺々掛け合わせると

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} < e^{\frac{1}{n - 1}} \cdot (e^{- \frac{1}{3 n}})^{3} = e^{\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n ( n - 1 )}}

ではまだ指数が大きいので、 $\frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3}$ を先に展開・整理してから (1) を適用する。実際、

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (\frac{n - 1}{n} + \frac{9 n - 1}{27 n ^{3}}) = 1 + \frac{9 n - 1}{27 n ^{2} ( n - 1 )} < 1 + \frac{9 n}{27 n ^{2} ( n - 1 )} = 1 + \frac{1}{3 n ( n - 1 )}

であり、(1) の不等式で $x = \frac{1}{3 n ( n - 1 )} > 0$ とおけば $1 + \frac{1}{3 n ( n - 1 )} < e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}$ であるから

1 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}

が成り立つ。

(ii) の証明　 $n = 1$ のときは $a_{1} = 1$ より $1 ≦ a_{1} < e^{\frac{1}{3}}$ が成り立つ。 $n ≧ 2$ のとき、(i) の不等式で $n$ を $k (k = 2, 3, \dots, n)$ に置き換えて辺々の積をとると、 $a_{1} = 1$ より

1 < k = 2 \prod n \frac{a _{k}}{a _{k - 1}} = a_{n} < k = 2 \prod n e^{\frac{1}{3 k ( k - 1 )}} = exp {\frac{1}{3} k = 2 \sum n \frac{1}{k ( k - 1 )}}

となる。ここで

k = 2 \sum n \frac{1}{k ( k - 1 )} = k = 2 \sum n (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = 1 - \frac{1}{n} < 1

であり、指数関数 $e^{x}$ は単調増加であるから

1 < a_{n} < e^{\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{n})} < e^{\frac{1}{3}}

が成り立つ。以上より、すべての自然数 $n$ に対して $1 ≦ a_{n} < e^{\frac{1}{3}}$ が成り立つ。（証明終）

第4問だけのページ

第5問　微分法・積分法（数III）

放物線 $x=y^2$ の法線・法線の通過領域（包絡線）・通過領域と放物線で囲まれた面積当サイトの体感難易度：やや難

(1)放物線 $C : x = y^{2}$ 上の点 $P (t^{2}, t)$ における法線 $ℓ$ の方程式を求める

答 $2 t x + y - 2 t^{3} - t = 0$ （または $y = - 2 t x + 2 t^{3} + t$ ）

$x = y^{2}$ の両辺を $y$ で微分して点 $P$ における接線の方向ベクトルを求め、法線の方程式を立てる。

放物線 $C : x = y^{2}$ の両辺を $y$ で微分すると $\frac{d x}{d y} = 2 y$ である。よって点 $P (t^{2}, t)$ における接線の方向ベクトルは $(2 t, 1)$ であり、法線 $ℓ$ の法線ベクトルは $(2 t, 1)$ ととれる。したがって、点 $P (t^{2}, t)$ を通る法線 $ℓ$ の方程式は

2 t (x - t^{2}) + 1 \cdot (y - t) = 0 ⟺ y = - 2 t x + 2 t^{3} + t

（または $2 t x + y - 2 t^{3} - t = 0$ ）である（ $t = 0$ のときも接線は $y$ 軸 $x = 0$ 、法線は $x$ 軸 $y = 0$ となりこの式に含まれる）。

(2)実数 $t$ が $t ≦ 0$ の範囲を動くとき、法線 $ℓ$ が通過する領域を $E$ とし、領域 $D : y^{2} ≦ x ≦ 1$ と $E$ の共通部分 $D \cap E$ を図示する

答 $0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}$ のとき $- x ≦ y ≦ 0$ 、 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ のとき $- x ≦ y ≦ \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$ （図は本文参照）

$x$ を固定して $y$ を $t (≦ 0)$ の3次関数 $g (t) = 2 t^{3} + (1 - 2 x) t$ とみなし、 $t ≦ 0$ における $g (t)$ の値域を求める。

座標平面上の点 $(x, y)$ が領域 $E$ に属するための必要十分条件は、 $t ≦ 0$ の範囲に

y = 2 t^{3} + (1 - 2 x) t

を満たす実数 $t$ が存在することである。 $x$ を固定し、右辺を $t$ の関数 $g (t) = 2 t^{3} + (1 - 2 x) t (t ≦ 0)$ とおくと、 $g (t)$ は連続関数で $g (0) = 0, t \to - \infty lim g (t) = - \infty$ であり、導関数は

g^{'} (t) = 6 t^{2} + 1 - 2 x

である。 $x$ の値によって $t ≦ 0$ における $g (t)$ の増減と値域を場合分けして調べる。

(ア) $x ≦ \frac{1}{2}$ のとき： $1 - 2 x ≧ 0$ であるから、すべての実数 $t ≦ 0$ に対して $g^{'} (t) = 6 t^{2} + 1 - 2 x ≧ 0$ となり、 $g (t)$ は $t ≦ 0$ で単調増加である。よって $t ≦ 0$ における $g (t)$ の最大値は $g (0) = 0$ であり、値域は $y ≦ 0$ となる。
(イ) $x > \frac{1}{2}$ のとき： $g^{'} (t) = 0$ かつ $t ≦ 0$ を解くと $t = - \frac{2 x - 1}{6}$ （これを $α$ とおく）である。 $t < α$ で $g^{'} (t) > 0$ 、 $α < t < 0$ で $g^{'} (t) < 0$ であるから、 $g (t)$ は $t = α$ で極大かつ最大となり、その最大値は

g (α) = α (2 α^{2} + 1 - 2 x) = - \frac{2 x - 1}{6} (\frac{2 x - 1}{3} - (2 x - 1)) = \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}

である。したがって $x > \frac{1}{2}$ における $g (t) (t ≦ 0)$ の値域は $y ≦ \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$ となる。

ここで、 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ において曲線 $y = \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$ と放物線 $y = x$ の上下関係を調べると、 $x = 1$ のときでも $\frac{2 6}{9} (1 - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{9} < 1 = 1$ であり、実際 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ で常に $0 ≦ \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}} < x$ が成り立つ。したがって $D : 0 ≦ x ≦ 1, - x ≦ y ≦ x$ との共通部分 $D \cap E$ は

⎩ ⎨ ⎧ 0 ≦ x ≦ \frac{1}{2} のとき - x ≦ y ≦ 0, \frac{1}{2} ≦ x ≦ 1 のとき - x ≦ y ≦ \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}

となり、図示すると下図の斜線部分（境界線を含む）となる。

放物線 C: x = y² の法線（t ≦ 0）の通過領域 E と D: y² ≦ x ≦ 1 の共通部分 D ∩ E

(3)(2) の領域 $D \cap E$ の面積 $S$ を求める

答 $\frac{30 + 3}{45}$

$x$ 軸より下側の部分（ $0 ≦ x ≦ 1, - x ≦ y ≦ 0$ ）と、 $x$ 軸より上側の部分（ $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}$ ）に分けて積分する。

(2) より、領域 $D \cap E$ の面積 $S$ は、 $x$ 軸の下側の面積と上側の面積の和として

S = \int_{0}^{1} x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{2 6}{9} (x - \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}} d x = [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \frac{2 6}{9} [\frac{2}{5} (x - \frac{1}{2})^{\frac{5}{2}}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{2}{3} + \frac{4 6}{45} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{5}{2}} = \frac{2}{3} + \frac{4 6}{45} \cdot \frac{1}{4 2} = \frac{2}{3} + \frac{3}{45} = \frac{30 + 3}{45}

と求まる。

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問題文について

(1)関数 f(x)=2+sinxcosx​ (0<x<2π) の増減・極値・グラフの凹凸および変曲点を調べる

(2)極限 t→∞lim​(∫1t​logxx+1​dx−logt) を求める

(1)さいころを3回投げて出た目を n1​,n2​,n3​ とし、点 Ak​(cos52nk​​π,sin52nk​​π) (k=1,2,3) をとるとき、3点 A1​,A2​,A3​ がすべて一致する確率を求める

(2)OA1​​+OA2​​ と OA3​​ が平行である確率を求める

(3)OA1​​+OA2​​ と OA3​​ が平行であるとき、出た目 n1​,n2​,n3​ がすべて奇数である条件付き確率を求める

(1)1辺の長さ1の立方体 ABCD-EFGH において AB=a, AD=b, AE=c とおき、辺 AD の中点 P、辺 GH の中点 Q、辺 AB 上の点 R（AR=t, 0<t<1）、平面 BCGF 上の点 S（AS=αa+βb+γc）について、α の値および AP,AQ​,AR を求める

(2)4点 P,Q,R,S が同一平面上にあるとき、β を t,γ を用いて表す

(3)4点 P,Q,R,S が同一平面上にあり、かつ直線 PS と直線 QR が垂直であるとき、β,γ をそれぞれ t を用いて表す

(4)(3) の点 S が立方体の面 BCGF（周を含む）上にあるような t の値の範囲を求める

(1)すべての実数 x に対して ex≧x+1 が成り立つことを示す

(2)a1​=1, an​=n−1n​(1−3n1​)3an−1​ (n=2,3,4,…) で定められる数列 {an​} について、(i) n≧2 で 1<an−1​an​​<e3n(n−1)1​、(ii) n≧1 で 1≦an​<e31​ を示す

(1)放物線 C:x=y2 上の点 P(t2,t) における法線 ℓ の方程式を求める

(2)実数 t が t≦0 の範囲を動くとき、法線 ℓ が通過する領域を E とし、領域 D:y2≦x≦1 と E の共通部分 D∩E を図示する

(3)(2) の領域 D∩E の面積 S を求める

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(1)関数 $f (x) = \frac{cos x}{2 + sin x} (0 < x < 2 π)$ の増減・極値・グラフの凹凸および変曲点を調べる

(2)極限 $t \to \infty lim (\int_{1}^{t} lo g \frac{x + 1}{x} d x - lo g t)$ を求める

(1)さいころを3回投げて出た目を $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ とし、点 $A_{k} (cos \frac{2 n _{k}}{5} π, sin \frac{2 n _{k}}{5} π) (k = 1, 2, 3)$ をとるとき、3点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ がすべて一致する確率を求める

(2) $OA_{1} + OA_{2}$ と $OA_{3}$ が平行である確率を求める

(3) $OA_{1} + OA_{2}$ と $OA_{3}$ が平行であるとき、出た目 $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて奇数である条件付き確率を求める

(2)4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあるとき、 $β$ を $t, γ$ を用いて表す

(3)4点 $P, Q, R, S$ が同一平面上にあり、かつ直線 $PS$ と直線 $QR$ が垂直であるとき、 $β, γ$ をそれぞれ $t$ を用いて表す

(4)(3) の点 $S$ が立方体の面 $BCGF$ （周を含む）上にあるような $t$ の値の範囲を求める

(1)すべての実数 $x$ に対して $e^{x} ≧ x + 1$ が成り立つことを示す

(2) $a_{1} = 1, a_{n} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} a_{n - 1} (n = 2, 3, 4, \dots)$ で定められる数列 ${a_{n}}$ について、(i) $n ≧ 2$ で $1 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}$ 、(ii) $n ≧ 1$ で $1 ≦ a_{n} < e^{\frac{1}{3}}$ を示す

(1)放物線 $C : x = y^{2}$ 上の点 $P (t^{2}, t)$ における法線 $ℓ$ の方程式を求める

(2)実数 $t$ が $t ≦ 0$ の範囲を動くとき、法線 $ℓ$ が通過する領域を $E$ とし、領域 $D : y^{2} ≦ x ≦ 1$ と $E$ の共通部分 $D \cap E$ を図示する

(3)(2) の領域 $D \cap E$ の面積 $S$ を求める

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