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横浜国立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

横国理系 2025年度数学第2問（確率・平面ベクトル）の解答・解説

横浜国立大学（横国理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第2問（分野：確率・平面ベクトル）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「正五角形の頂点とさいころの目・単位円上のベクトルの和と平行条件・条件付き確率」を扱います。

出題テーマ：正五角形の頂点とさいころの目・単位円上のベクトルの和と平行条件・条件付き確率当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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横国理系 2025年度数学第2問の設問構成・解答方針（全3問）

(1)の解答・解説へ
さいころを3回投げて出た目を $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ とし、点 $A_{k} (cos \frac{2 n _{k}}{5} π, sin \frac{2 n _{k}}{5} π) (k = 1, 2, 3)$ をとるとき、3点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ がすべて一致する確率を求める
(2)の解答・解説へ
$OA_{1} + OA_{2}$ と $OA_{3}$ が平行である確率を求める
(3)の解答・解説へ
$OA_{1} + OA_{2}$ と $OA_{3}$ が平行であるとき、出た目 $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて奇数である条件付き確率を求める

(1)さいころを3回投げて出た目を $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ とし、点 $A_{k} (cos \frac{2 n _{k}}{5} π, sin \frac{2 n _{k}}{5} π) (k = 1, 2, 3)$ をとるとき、3点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ がすべて一致する確率を求める

答 $\frac{1}{18}$

さいころの目 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のうち、 $n = 1$ と $n = 6$ のみが同じ点を与えることに注意して場合の数を数える。

さいころを3回投げるときの目の出方は全部で $6^{3} = 216$ 通りであり、これらは同様に確からしい。

点 $A_{k}$ は単位円上の点で偏角が $\frac{2 n _{k}}{5} π$ であるから、2つの目 $m, n \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ が同じ点を与えるための必要十分条件は $m \equiv n (mod 5)$ である。したがって、5で割った余りによって目の集合は

{1, 6}, {2}, {3}, {4}, {5}

の5つのグループ（正五角形の5頂点に対応）に分かれる。3点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ がすべて一致するのは、 $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて同じグループに属するときであるから、その場合の数は

2^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} = 8 + 4 = 12 （通り）

である。よって求める確率は

\frac{12}{216} = \frac{1}{18}

となる。

(2) $OA_{1} + OA_{2}$ と $OA_{3}$ が平行である確率を求める

答 $\frac{11}{54}$

正五角形の頂点において $OA_{1} + OA_{2} \neq = 0$ であることを確認し、単位ベクトル $OA_{1}, OA_{2}$ の和の方向が角の二等分線方向（すなわち $n_{1} + n_{2} \equiv 2 n_{3} (mod 5)$ ）になることから数え上げる。

正五角形のどの2頂点も原点に関して対称ではない（偏角の差が $π$ の奇数倍にならない）から、常に $OA_{1} + OA_{2} \neq = 0$ である。また $∣ OA_{1} ∣ = ∣ OA_{2} ∣ = 1$ より、ひし形の対角線の性質（または和積の公式）から、 $OA_{1} + OA_{2}$ は直線 $OA_{3}$ と平行であるための必要十分条件が

点 A_{1} と点 A_{2} が直線 OA_{3} に関して対称（ A_{1} = A_{2} = A_{3} を含む）

で与えられる。偏角の条件で書けば $\frac{2 n _{1}}{5} π + \frac{2 n _{2}}{5} π \equiv 2 \cdot \frac{2 n _{3}}{5} π (mod 2 π)$ 、すなわち

n_{1} + n_{2} \equiv 2 n_{3} (mod 5)

である。 $g cd (2, 5) = 1$ であるから、任意の組 $(n_{1}, n_{2})$ に対して $2 n_{3} \equiv n_{1} + n_{2} (mod 5)$ を満たす5で割った余りのクラスはただ1つ決まる。

$n_{3} \in {1, 6}$ （すなわち $2 n_{3} \equiv 2 (mod 5)$ ）となるのは $n_{1} + n_{2} \equiv 2 (mod 5)$ のときである。5で割った余りの組 $(r_{1}, r_{2}) (r_{i} \in {1, 2, 3, 4, 0})$ とそれぞれの目の出方の数（ $r_{i} = 1$ のとき2通り、他は1通り）を調べると、 $(r_{1}, r_{2}) = (1, 1)$ が $2 \times 2 = 4$ 通り、 $(2, 0), (0, 2), (3, 4), (4, 3)$ が各 $1 \times 1 = 1$ 通りで、 $(n_{1}, n_{2})$ は計 $4 + 4 = 8$ 通り。それぞれに対し $n_{3} \in {1, 6}$ が2通りあるから、 $8 \times 2 = 16$ 通り。
$n_{3} \in {2, 3, 4, 5}$ のときは、各 $(n_{1}, n_{2})$ に対して対応する $n_{3}$ は1通りずつである。全 $6^{2} = 36$ 通りの $(n_{1}, n_{2})$ のうち $n_{1} + n_{2} \equiv 2 (mod 5)$ となる8通りを除いた $36 - 8 = 28$ 通りに対して、それぞれ $n_{3}$ がただ1つ定まるから $28 \times 1 = 28$ 通り。

以上より、条件を満たす $(n_{1}, n_{2}, n_{3})$ の組は全部で $16 + 28 = 44$ 通りである。したがって求める確率は

\frac{44}{216} = \frac{11}{54}

である。

(3) $OA_{1} + OA_{2}$ と $OA_{3}$ が平行であるとき、出た目 $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて奇数である条件付き確率を求める

答 $\frac{5}{44}$

$n_{1}, n_{2}, n_{3} \in {1, 3, 5}$ の範囲で $n_{1} + n_{2} \equiv 2 n_{3} (mod 5)$ を満たす組を数え、(2) の44通りで割る。

$n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて奇数、すなわち $n_{1}, n_{2}, n_{3} \in {1, 3, 5}$ であり、かつ $n_{1} + n_{2} \equiv 2 n_{3} (mod 5)$ を満たす組を $n_{3}$ の値で場合分けして数える。

$n_{3} = 1$ のとき： $n_{1} + n_{2} \equiv 2 (mod 5)$ 。 ${1, 3, 5}$ の中から和が5で割って2余る組を探すと $(n_{1}, n_{2}) = (1, 1)$ の1通りのみ。
$n_{3} = 3$ のとき： $n_{1} + n_{2} \equiv 6 \equiv 1 (mod 5)$ 。 ${1, 3, 5}$ の中では $(n_{1}, n_{2}) = (1, 5), (5, 1), (3, 3)$ の3通り。
$n_{3} = 5$ のとき： $n_{1} + n_{2} \equiv 10 \equiv 0 (mod 5)$ 。 ${1, 3, 5}$ の中では $(n_{1}, n_{2}) = (5, 5)$ の1通りのみ。

よって、 $OA_{1} + OA_{2}$ と $OA_{3}$ が平行であり、かつ $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて奇数となる目の出方は $1 + 3 + 1 = 5$ 通りである。(2) より平行となる目の出方は全部で44通りであるから、求める条件付き確率は

\frac{5}{44}

である。

2025年度の全5問をまとめて読む

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問題文について

(1)さいころを3回投げて出た目を n1​,n2​,n3​ とし、点 Ak​(cos52nk​​π,sin52nk​​π) (k=1,2,3) をとるとき、3点 A1​,A2​,A3​ がすべて一致する確率を求める

(2)OA1​​+OA2​​ と OA3​​ が平行である確率を求める

(3)OA1​​+OA2​​ と OA3​​ が平行であるとき、出た目 n1​,n2​,n3​ がすべて奇数である条件付き確率を求める