第2問 確率の解答・解説

どちらの袋も玉は $2+4+4=10$ 個で、赤を取り出す確率は $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$、赤以外は $\frac{4}{5}$ である。2つの袋から取り出す色は独立だから

である。

あとで使うので、赤が1個だけの $\frac{8}{25}$ の内訳も出しておく。もう1個が青になるのは $2\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25}$、白になるのも $\frac{4}{25}$ である。

箱 $\mathrm{B}$ の赤の個数を $k$（$k=0,1,2$）とする。操作2・操作3は戻してから引くので独立で、どちらも赤になる確率は ${\left(\frac{k}{2}\right)}^2$ である。記録がどちらも赤だったという事象を $E$ とすると

1. $k=0$ … 確率 ${\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$、$E$ の確率は $0$
2. $k=1$ … 確率 $\frac{8}{25}$、$E$ の確率は $\frac{1}{4}$
3. $k=2$ … 確率 $\frac{1}{25}$、$E$ の確率は $1$

である。よって

であり

である。

(1) の注より、操作1のあとの箱 $\mathrm{B}$ の中身は「赤赤」が $\frac{1}{25}$、「赤青」が $\frac{4}{25}$、「赤白」が $\frac{4}{25}$ である。$E$ の起こる確率は「赤青」も「赤白」もどちらも $\frac{1}{4}$ なので、$E$ のもとでの条件付き確率は

すなわち「赤赤」「赤青」「赤白」がそれぞれ $\frac{1}{3}$ である（$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ が (2) の「赤1個だけ」と合う）。

箱 $\mathrm{A}$ からは赤・青がそれぞれ $\frac{1}{2}$ で出る。箱 $\mathrm{B}$ からは入っている2個がそれぞれ $\frac{1}{2}$ で出る。赤と青が1個ずつになる確率を中身ごとに求めると

1. 「赤赤」… 箱 $\mathrm{B}$ は必ず赤。箱 $\mathrm{A}$ が青であればよく $\frac{1}{2}$
2. 「赤青」… $\left(\mathrm{A}=\text{赤},\mathrm{B}=\text{青}\right)$ と $\left(\mathrm{A}=\text{青},\mathrm{B}=\text{赤}\right)$ で $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
3. 「赤白」… $\left(\mathrm{A}=\text{青},\mathrm{B}=\text{赤}\right)$ だけで $\frac{1}{4}$

である。よって求める確率は

である。