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名古屋市立大学　2024年度　前期日程　医学部医学科

第1問空間ベクトルの解答・解説

正四面体の内積・平面上にある条件・直線と平面の交点・直角になる条件当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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掲載ページ名「令和6年度前期日程医学部数学」／2026/10/13に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)正四面体 $OABC$ で、平面 $OAB$ 上の点 $P$ が $5 OP = PA - 3 PB$ を満たす。 $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OC = c$ として $OP$ を $a, b$ で表す

答 $OP = \frac{1}{3} a - b$

$PA = a - OP$ などを代入して $OP$ について解く。

$p = OP$ とおくと $PA = a - p$ 、 $PB = b - p$ なので

5 p = (a - p) - 3 (b - p) = a - 3 b + 2 p

である。よって $3 p = a - 3 b$ で

OP = \frac{1}{3} a - b

である。 $c$ が現れないので、 $P$ は確かに平面 $OAB$ 上にある。

1辺 $1$ の正四面体に座標を入れて確かめると、 $5 OP - (PA - 3 PB) = 0$ になった。

(2) $△ ABC$ の重心 $G$ と点 $P$ を通る直線が平面 $OAC$ と交わる点を $Q$ とするとき、 $OQ$ を $a, c$ で表す

答 $OQ = \frac{1}{3} a + \frac{1}{4} c$

直線 $GP$ 上の点を $a, b, c$ で表し、 $b$ の係数が $0$ になるところを探す。

$OG = \frac{a + b + c}{3}$ である。(1) より

GP = (\frac{1}{3} a - b) - \frac{a + b + c}{3} = - \frac{4}{3} b - \frac{1}{3} c

なので、直線 $GP$ 上の点は実数 $t$ を使って

OG + t GP = \frac{1}{3} a + (\frac{1}{3} - \frac{4}{3} t) b + (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} t) c

と書ける。 $a, b, c$ は1次独立なので、この点が平面 $OAC$ 上にあるのは $b$ の係数が $0$ のとき、つまり

\frac{1}{3} - \frac{4}{3} t = 0, t = \frac{1}{4}

のときである。このとき $c$ の係数は $\frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ なので

OQ = \frac{1}{3} a + \frac{1}{4} c

である。

この $Q$ が直線 $GP$ 上にあることを、座標を入れて外積が $0$ になることで確かめた。

(3)線分 $OA$ 上の点 $R$ について、 $△ PQR$ が $PQ$ を斜辺とする直角三角形になるとき、 $\frac{OR}{OA}$ を求める

答 $\frac{OR}{OA} = \frac{7 + 3 41}{48}$

$PQ$ が斜辺だから直角は $R$ にある。 $RP \cdot RQ = 0$ を計算する。

正四面体なので、1辺の長さを $1$ としてよい。 $∣ a ∣ = b = ∣ c ∣ = 1$ で、どの2つのなす角も $\frac{π}{3}$ だから

a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = \frac{1}{2}

である。 $R$ は線分 $OA$ 上なので $OR = s a$ （ $0 ≦ s ≦ 1$ ）とおける。 $PQ$ が斜辺だから直角は頂点 $R$ にあり、条件は $RP \cdot RQ = 0$ である。

RP = (\frac{1}{3} - s) a - b, RQ = (\frac{1}{3} - s) a + \frac{1}{4} c

である。 $u = \frac{1}{3} - s$ とおくと

RP \cdot RQ = u^{2} ∣ a ∣^{2} + \frac{u}{4} (a \cdot c) - u (a \cdot b) - \frac{1}{4} (b \cdot c)

で、内積の値を入れると

u^{2} + \frac{u}{8} - \frac{u}{2} - \frac{1}{8} = u^{2} - \frac{3}{8} u - \frac{1}{8}

である。これが $0$ になるので $8 u^{2} - 3 u - 1 = 0$ 、すなわち

u = \frac{3 \pm 9 + 32}{16} = \frac{3 \pm 41}{16}

である。 $s = \frac{1}{3} - u$ なので

s = \frac{1}{3} - \frac{3 \pm 41}{16} = \frac{16 - 3 ( 3 \pm 41 )}{48} = \frac{7 \mp 3 41}{48}

である。 $41 = 6.40 \dots$ なので、複号が $-$ のとき（ $u$ が $+$ のとき） $s = \frac{7 - 3 41}{48} < 0$ となり、 $R$ は線分 $OA$ 上にない。複号が $+$ のときは

s = \frac{7 + 3 41}{48} = 0.546 \dots

で $0 < s < 1$ を満たす。 $OA = 1$ 、 $OR = s$ だから

\frac{OR}{OA} = \frac{7 + 3 41}{48}

である。

$s = 0.5460286$ のとき $RP \cdot RQ$ は $3 \times 1 0^{- 17}$ で、もう一方の解 $- 0.2543619$ は線分 $OA$ 上になかった。

「 $PQ$ を斜辺とする」ので直角は $R$ にある。 $P$ や $Q$ で直角をとらない。

2次方程式の解のうち、 $0 ≦ s ≦ 1$ を満たすほうだけが答えになる。

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問題文について

(1)正四面体 OABC で、平面 OAB 上の点 P が 5OP=PA−3PB を満たす。OA=a、OB=b、OC=c として OP を a,b で表す

(2)△ABC の重心 G と点 P を通る直線が平面 OAC と交わる点を Q とするとき、OQ​ を a,c で表す

(3)線分 OA 上の点 R について、△PQR が PQ を斜辺とする直角三角形になるとき、OAOR​ を求める

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(1)正四面体 $OABC$ で、平面 $OAB$ 上の点 $P$ が $5 OP = PA - 3 PB$ を満たす。 $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OC = c$ として $OP$ を $a, b$ で表す

(2) $△ ABC$ の重心 $G$ と点 $P$ を通る直線が平面 $OAC$ と交わる点を $Q$ とするとき、 $OQ$ を $a, c$ で表す

(3)線分 $OA$ 上の点 $R$ について、 $△ PQR$ が $PQ$ を斜辺とする直角三角形になるとき、 $\frac{OR}{OA}$ を求める