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名古屋市立大学　2024年度　前期日程　医学部医学科

第4問三角関数・積分法の解答・解説

2曲線の共有点・面積の計算・合成と三角比・比から条件式を作る当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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掲載ページ名「令和6年度前期日程医学部数学」／2026/10/13に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

$f (x) = p sin x$ 、 $g (x) = q cos x$ （ $p > 0, q > 0$ ）について、 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ の $0 ≦ x ≦ π$ 、 $π ≦ x ≦ 2 π$ における共有点の $x$ 座標をそれぞれ $α, β$ とする。 $α ≦ x ≦ π$ 、 $y ≧ 0$ で2曲線と $x$ 軸とで囲まれた部分の面積を $S_{1}$ 、 $\frac{π}{2} ≦ x ≦ β$ 、 $y ≦ 0$ で2曲線と $x$ 軸とで囲まれた部分の面積を $S_{2}$ とする。 $S_{1} : S_{2} = (2 + 1) : (2 - 1)$ のときの $α, β$ を求める

答 $α = \frac{π}{12}$ 、 $β = \frac{13}{12} π$

$S_{1}, S_{2}$ を $p, q$ で表すと、どちらも $p^{2} + q^{2}$ と $p - q$ だけで書ける。

$p sin x = q cos x$ を解く。 $cos x = 0$ のときは左辺が $\pm p \neq = 0$ なので共有点ではない。よって両辺を $cos x$ で割って

tan x = \frac{q}{p} (> 0)

である。 $0 ≦ x ≦ π$ でこれを満たすのは $0 < α < \frac{π}{2}$ のただ1つ、 $π ≦ x ≦ 2 π$ でこれを満たすのは $β = α + π$ のただ1つである。

$tan α = \frac{q}{p}$ 、 $0 < α < \frac{π}{2}$ より

cos α = \frac{p}{p ^{2} + q ^{2}}, sin α = \frac{q}{p ^{2} + q ^{2}}

である。 $k = p^{2} + q^{2}$ とおくと、あとで出てくる

p cos α + q sin α = \frac{p ^{2} + q ^{2}}{k} = k

が効く。

$S_{1}$ 　 $α ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ では $cos x > 0$ で $tan x ≧ \frac{q}{p}$ だから $p sin x ≧ q cos x ≧ 0$ である。 $\frac{π}{2} ≦ x ≦ π$ では $q cos x ≦ 0$ なので、 $y ≧ 0$ の部分の下の境界は $x$ 軸になる。よって

S_{1} = \int_{α}^{\frac{π}{2}} (p sin x - q cos x) d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} p sin x d x

である。計算すると

[- p cos x - q sin x]_{α}^{\frac{π}{2}} = - q + p cos α + q sin α = k - q

[- p cos x]_{\frac{π}{2}}^{π} = p

なので

S_{1} = k + p - q

である。

$S_{2}$ 　 $\frac{π}{2} ≦ x ≦ π$ では $p sin x ≧ 0$ なので、 $y ≦ 0$ の部分の上の境界は $x$ 軸、下の境界は $q cos x ≦ 0$ である。 $π ≦ x ≦ β$ では $p sin x ≦ 0$ 、 $q cos x ≦ 0$ で、 $cos x < 0$ と $tan x ≦ \frac{q}{p}$ から $p sin x ≧ q cos x$ である。よって

S_{2} = \int_{\frac{π}{2}}^{π} (- q cos x) d x + \int_{π}^{β} (p sin x - q cos x) d x

である。 $cos β = - cos α$ 、 $sin β = - sin α$ を使うと

[- q sin x]_{\frac{π}{2}}^{π} = q, [- p cos x - q sin x]_{π}^{β} = p cos α + q sin α - p = k - p

なので

S_{2} = k - p + q

である。

p = 2 + √3、q = 1 のときの y = p sin x と y = q cos x。alpha は 0 から pi の範囲の交点、beta は pi から 2pi の範囲の交点。上の塗りが S1、下の塗りが S2。

比の条件　 $d = p - q$ とおくと $S_{1} = k + d$ 、 $S_{2} = k - d$ である。 $S_{1} : S_{2} = (2 + 1) : (2 - 1)$ より

(k + d) (2 - 1) = (k - d) (2 + 1)

で、展開して整理すると $22 d = 2 k$ 、つまり

2 (p - q) = p^{2} + q^{2}

である。 $k > 0$ なので $p > q$ である。両辺を2乗して

2 (p - q)^{2} = p^{2} + q^{2}, p^{2} - 4 pq + q^{2} = 0

である。 $q > 0$ で割ると $(\frac{p}{q})^{2} - 4 \cdot \frac{p}{q} + 1 = 0$ なので

\frac{p}{q} = 2 \pm 3

で、 $p > q$ より $\frac{p}{q} = 2 + 3$ である。したがって

tan α = \frac{q}{p} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

である。 $tan \frac{π}{12} = tan (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{3 - 1}{1 + 3} = 2 - 3$ で、 $0 < α < \frac{π}{2}$ だから

α = \frac{π}{12}, β = α + π = \frac{13}{12} π

である。

$p = 2 + 3$ 、 $q = 1$ で数値積分すると $S_{1} = 6.595754$ 、 $S_{2} = 1.131652$ で、比は $5.828427 = \frac{2 + 1}{2 - 1}$ だった。

$S_{1}$ は $\frac{π}{2}$ を境に下の境界が $y = g (x)$ から $x$ 軸に変わる。1本の積分で済ませない。

$S_{2}$ も $x = π$ を境に上の境界が $x$ 軸から $y = f (x)$ に変わる。

$p, q$ は1つに決まらない（比だけが決まる）。決まるのは $\frac{q}{p}$ 、つまり $α$ である。

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