第3問整数の解答・解説

下1桁の周期・合同式・周期の最小公倍数・条件を満たす番号の並び当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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掲載ページ名「令和6年度前期日程医学部数学」／2026/10/13に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $n$ を正の整数とするとき、 $3^{n} - 2^{n}$ を $10$ で割った余りを求める

答 $n \equiv 1$ のとき $1$ 、 $n \equiv 3$ のとき $9$ 、 $n$ が偶数のとき $5$ （いずれも $mod 4$ で、 $n \equiv 0, 2$ をまとめて「偶数」とした）

$3^{n}$ も $2^{n}$ も下1桁が周期 $4$ で繰り返す。

$3^{n}$ を $10$ で割った余りは $n = 1, 2, 3, 4$ で $3, 9, 7, 1$ となり、以後 $3^{4} \equiv 1$ より周期 $4$ で繰り返す。 $2^{n}$ の余りも $n = 1, 2, 3, 4$ で $2, 4, 8, 6$ となり、 $2^{n + 4} = 16 \cdot 2^{n} \equiv 6 \cdot 2^{n}$ から $n ≧ 1$ では周期 $4$ で繰り返す。よって

$n \equiv 1 (mod 4)$ … $3 - 2 = 1$
$n \equiv 2 (mod 4)$ … $9 - 4 = 5$
$n \equiv 3 (mod 4)$ … $7 - 8 = - 1 \equiv 9$
$n \equiv 0 (mod 4)$ … $1 - 6 = - 5 \equiv 5$

である。まとめると、余りは $n$ が奇数で $n \equiv 1 (mod 4)$ のとき $1$ 、 $n \equiv 3 (mod 4)$ のとき $9$ 、 $n$ が偶数のときは $n \equiv 0, 2 (mod 4)$ のどちらでも $5$ である。

$n = 1, \dots, 8$ で余りは $1, 5, 9, 5, 1, 5, 9, 5$ だった。

$2^{n}$ の下1桁が $2, 4, 8, 6$ を繰り返すのは $n ≧ 1$ のとき。 $2^{0} = 1$ は列に入らない。

(2) $3^{n} - 2^{n} + 4 n$ を $10$ で割った余りを $r_{n}$ とする。 $r_{n} = 7$ となる $n$ を小さい順に並べた数列を ${a_{m}}$ とするとき、 $a_{100}$ を求める

答 $a_{100} = 498$

$3^{n} - 2^{n}$ は周期 $4$ 、 $4 n$ は周期 $5$ なので、 $r_{n}$ は周期 $20$ で繰り返す。

$4 n$ を $10$ で割った余りは $n \equiv 1, 2, 3, 4, 0 (mod 5)$ に対して $4, 8, 2, 6, 0$ で、周期は $5$ である。(1) より $3^{n} - 2^{n}$ の余りの周期は $4$ なので、 $r_{n}$ は周期 $lcm (4, 5) = 20$ で繰り返す。