三重大学　2026年度　前期日程　数学②（医学部医学科・工学部）

第2問確率・統計の解答・解説

さいころ2個の標本空間・期待値と分散・独立な確率変数の和・積の期待値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/06

問題文について

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(1) $Z = 6$ となる確率と、 $X = 2$ かつ $Z = 6$ となる確率を求める

答 $P (Z = 6) = \frac{5}{36}$ 、 $P (X = 2 かつ Z = 6) = \frac{1}{36}$

方針2個のさいころは $6 \times 6 = 36$ 通りが同様に確からしい。出方の組を数えるだけでよい。

$X + Y = 6$ となる $(X, Y)$ は $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ の5通り。

P (Z = 6) = \frac{5}{36}

$X = 2$ と決めると $Y = 4$ しかないので、組は1通り。

P (X = 2 かつ Z = 6) = \frac{1}{36}

検算

$P (Z = 6)$ を $X$ の値で分けると $X = 1, \dots, 5$ の5通りがそれぞれ $\frac{1}{36}$ で、足すと $\frac{5}{36}$ 。後半の答えはその1つ分にあたる。

答案で省略しない方がよい点

$(3, 3)$ も1通りとして数える。白と黒で区別しているので、重複ではない。
$X = 6$ だと $Y = 0$ になってしまい、さいころの目にならない。 $X$ は $1$ から $5$ まで。

(2) $E (X)$ と $V (X)$ を求める

答 $E (X) = \frac{7}{2}$ 、 $V (X) = \frac{35}{12}$

方針 $X$ は $1$ から $6$ を等確率でとる。分散は $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ で出すのが早い。

E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}

E (X^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}

V (X) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^{2} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}

検算

偏差の2乗の平均からも出せる。 $(\frac{5}{2})^{2} \times 2 + (\frac{3}{2})^{2} \times 2 + (\frac{1}{2})^{2} \times 2 = \frac{25 + 9 + 1}{4} \times 2 = \frac{35}{2}$ 、これを $6$ で割って $\frac{35}{12}$ 。

答案で省略しない方がよい点

$E (X^{2}) \neq = {E (X)}^{2}$ 。 $\frac{91}{6}$ と $\frac{49}{4}$ は別物。

(3) $E (Z)$ と $V (Z)$ を求める

答 $E (Z) = 7$ 、 $V (Z) = \frac{35}{6}$

方針 $Z = X + Y$ で、 $X$ と $Y$ は独立。期待値は常に足せるが、分散が足せるのは独立のときだけ。ここはその条件が成り立っている。

E (Z) = E (X) + E (Y) = \frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 7

2個のさいころは互いに影響しないので独立。したがって

V (Z) = V (X) + V (Y) = \frac{35}{12} \times 2 = \frac{35}{6}

検算

$Z$ の分布は $2$ から $12$ まで $\frac{1}{36}, \frac{2}{36}, \dots, \frac{6}{36}, \dots, \frac{1}{36}$ 。これを使って直接 $E (Z^{2}) - 49$ を計算しても $\frac{35}{6}$ になる。

答案で省略しない方がよい点

$V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ は独立のときだけ。独立であることを一言書いておく。
$V (2 X) = 4 V (X)$ であって $2 V (X)$ ではない。 $Z$ は $2 X$ ではなく $X + Y$ 。ここを混同すると $\frac{35}{3}$ になってしまう。

(4) $E (X Y)$ と $E (X Z)$ を求める

答 $E (X Y) = \frac{49}{4}$ 、 $E (X Z) = \frac{329}{12}$

方針 $X, Y$ が独立だから $E (X Y) = E (X) E (Y)$ 。一方 $Z$ は $X$ を含むので独立ではない。 $X Z = X^{2} + X Y$ と展開して、既に出した値を使う。

E (X Y) = E (X) E (Y) = \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{49}{4}

$Z = X + Y$ なので $X Z = X^{2} + X Y$ 。期待値は和について線形だから

E (X Z) = E (X^{2}) + E (X Y) = \frac{91}{6} + \frac{49}{4} = \frac{182 + 147}{12} = \frac{329}{12}

検算

36通りを全部書き出して $x z$ の平均をとっても $\frac{329}{12} = 27.41 \overline{6}$ になる。 $E (X) E (Z) = \frac{7}{2} \cdot 7 = \frac{49}{2} = 24.5$ とは違うことにも注意。

答案で省略しない方がよい点

$E (X Z) = E (X) E (Z)$ としない。 $X$ と $Z$ は独立でない（ $X$ が大きいと $Z$ も大きくなりやすい）。
その差 $E (X Z) - E (X) E (Z) = \frac{329}{12} - \frac{49}{2} = \frac{35}{12}$ はちょうど $V (X)$ 。 $Z$ が $X$ を含んでいるぶんだけずれる。