三重大学　2026年度　前期日程　数学②（医学部医学科・工学部）

第1問小問集合の解答・解説

円を表す条件・内分点と内積・加法定理・対数の大小比較・複素数平面の1次変換当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。数学②（医学部医学科・工学部）の問題文は三重大学が公開しています。

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掲載ページ名「令和8年度一般選抜（前期日程・後期日程）過去問題」／2026/10/06に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $k > - 1$ のとき、 $k (x^{2} + y^{2} - 3) + x^{2} + y^{2} - 2 x + 3 y + 5 = 0$ が円を表す $k$ の範囲を求める（1点は円とみなさない）

答 $- 1 < k < - \frac{1}{2}$ または $k > \frac{7}{6}$

方針 $x^{2}, y^{2}$ の係数をそろえてから平方完成する。「円」＝右辺が正であり、 $= 0$ なら1点、 $< 0$ なら解なし。問題が「1点は円とみなさない」と断っているので、不等号は等号を含まない。

$x^{2}, y^{2}$ をまとめると

(k + 1) (x^{2} + y^{2}) - 2 x + 3 y + (5 - 3 k) = 0

$k > - 1$ より $k + 1 > 0$ なので、全体を $k + 1$ で割れる。平方完成して

(x - \frac{1}{k + 1})^{2} + (y + \frac{3}{2 ( k + 1 )})^{2} = \frac{13}{4 ( k + 1 ) ^{2}} - \frac{5 - 3 k}{k + 1}

円になる条件は右辺 $> 0$ 。 $(k + 1)^{2} > 0$ を掛けて

\frac{13}{4} - (5 - 3 k) (k + 1) > 0 ⟺ \frac{13}{4} + 3 k^{2} - 2 k - 5 > 0

12 k^{2} - 8 k - 7 > 0 ⟺ (2 k + 1) (6 k - 7) > 0

よって $k < - \frac{1}{2}$ または $k > \frac{7}{6}$ 。前提の $k > - 1$ と合わせて

- 1 < k < - \frac{1}{2} または k > \frac{7}{6}

検算

$k = \frac{7}{6}$ のとき右辺は $0$ になり、図形は1点に縮む。 $k = 0$ のときは $x^{2} + y^{2} - 2 x + 3 y + 5 = 0$ で、右辺が $1 + \frac{9}{4} - 5 = - \frac{7}{4} < 0$ となり解なし。どちらも範囲から外れている。

答案で省略しない方がよい点

$k + 1 > 0$ を先に確認してから割る。 $k > - 1$ という条件はそのためにある。
「1点は円とみなさない」ので $\geq$ ではなく $>$ 。境界 $k = - \frac{1}{2}, \frac{7}{6}$ は含まない。
$12 k^{2} - 8 k - 7$ は $(2 k + 1) (6 k - 7)$ と因数分解できる。解の公式を使うなら判別式 $400$ から $k = \frac{8 \pm 20}{24}$ 。

(2) $O (0, 0), A (1, 7), B (- 2, - 2)$ とし、辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $C$ とする。 $OC$ を $OA, OB$ で表し、 $OA \cdot OC$ を求めて $∠ AOC$ と $6 0^{\circ}$ を比べる

答 $OC = \frac{1}{3} OA + \frac{2}{3} OB$ 、 $OA \cdot OC = 6$ 。 $cos ∠ AOC = \frac{3}{5} > \frac{1}{2}$ なので $∠ AOC$ は $6 0^{\circ}$ より小さい

方針角の大小は、角そのものを出さずに余弦の大小で決める。 $cos$ は $0^{\circ}$ から $18 0^{\circ}$ で単調減少なので、 $cos θ > cos 6 0^{\circ}$ なら $θ < 6 0^{\circ}$ 。

$AC : CB = 2 : 1$ の内分点なので、 $B$ 側の重みが大きくなる。

OC = \frac{1 \cdot OA + 2 \cdot OB}{2 + 1} = \frac{1}{3} OA + \frac{2}{3} OB

座標にすると $C (\frac{1 - 4}{3}, \frac{7 - 4}{3}) = (- 1, 1)$ 。

OA \cdot OC = 1 \cdot (- 1) + 7 \cdot 1 = 6

$∣ OA ∣ = 50 = 52$ 、 $∣ OC ∣ = 2$ だから

cos ∠ AOC = \frac{6}{5 2 \cdot 2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

$\frac{3}{5} > \frac{1}{2} = cos 6 0^{\circ}$ で、 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ では $cos$ が減少するから $∠ AOC < 6 0^{\circ}$ 。つまり $6 0^{\circ}$ より大きくはない。

検算

$arccos \frac{3}{5} = 53.1 3^{\circ}$ で、確かに $6 0^{\circ}$ より小さい。内積が正なので鋭角であることとも矛盾しない。

答案で省略しない方がよい点

$2 : 1$ の内分は $\frac{1 \cdot OA + 2 \cdot OB}{3}$ 。係数を取り違えて $\frac{2 OA + OB}{3}$ としない。
「 $6 0^{\circ}$ より大きいか」と問われている。 $cos$ が大きいほど角は小さいので、不等号の向きが反転する。

(3) $a - b = 1$ のとき $sin (a θ) cos (b θ) = cos (a θ) sin (b θ) + sin 2 θ$ をみたす $θ$ （ $0 \leq θ < 2 π$ ）をすべて求める

答 $θ = 0, \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$

方針 $a, b$ は具体的に決まっていないが、使われているのは $a - b = 1$ だけ。加法定理で左辺－右辺第1項を1つの $sin$ にまとめると、 $a, b$ が消える。

$sin A cos B - cos A sin B = sin (A - B)$ を使うと

sin (a θ) cos (b θ) - cos (a θ) sin (b θ) = sin ((a - b) θ) = sin θ

よって方程式は $a, b$ によらず

sin θ = sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

sin θ (1 - 2 cos θ) = 0

$sin θ = 0$ … $0 \leq θ < 2 π$ で $θ = 0, π$
$cos θ = \frac{1}{2}$ … $θ = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

以上4つ。

検算

$a = 3, b = 2$ でも $a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}$ でも $a = - 2, b = - 3$ でも、この4つで等式が成り立つことを数値で確かめた。 $a, b$ の取り方によらない。

答案で省略しない方がよい点

$sin θ$ で割らない。 $sin θ = 0$ の解 $θ = 0, π$ が消える。
$θ = 0$ も範囲に入る（ $0 \leq θ < 2 π$ ）。一方 $θ = 2 π$ は入らない。
$a, b$ が消えることに気づかないと、場合分けを始めて行き詰まる。使える情報は $a - b = 1$ だけ。

(4) $3$ と $5 lo g_{3} 2$ の大小、および $lo g_{2} 12$ と $lo g_{3} 72$ の大小を調べる

答 $3 < 5 lo g_{3} 2$ 、 $lo g_{2} 12 < lo g_{3} 72$

方針前半は底をそろえて真数の大小に持ち込む。後半は差の共通部分を落として $lo g_{2} 3$ と $3 lo g_{3} 2$ の比較にし、そこで前半の結果をそのまま使う。2つは独立した問いではない。

前半。 $5 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 2^{5} = lo g_{3} 32$ 、 $3 = lo g_{3} 27$ 。底 $3 > 1$ なので真数の大小がそのまま効いて

32 > 27 ⟹ 5 lo g_{3} 2 > 3

後半。 真数を分解すると、どちらも $2$ が出てくる。

lo g_{2} 12 = lo g_{2} (2^{2} \cdot 3) = 2 + lo g_{2} 3, lo g_{3} 72 = lo g_{3} (2^{3} \cdot 3^{2}) = 2 + 3 lo g_{3} 2

よって比べるのは $lo g_{2} 3$ と $3 lo g_{3} 2$ 。 $t = lo g_{2} 3$ と置くと $lo g_{3} 2 = \frac{1}{t}$ で、 $t > 0$ だから

lo g_{2} 3 < 3 lo g_{3} 2 ⟺ t < \frac{3}{t} ⟺ t^{2} < 3

ここで前半が効く。 $5 lo g_{3} 2 > 3$ すなわち $\frac{5}{t} > 3$ だから $t < \frac{5}{3}$ 。したがって

t^{2} < (\frac{5}{3})^{2} = \frac{25}{9} < 3

よって $lo g_{2} 3 < 3 lo g_{3} 2$ となり、 $lo g_{2} 12 < lo g_{3} 72$ 。

検算

数値では $5 lo g_{3} 2 = 3.1546 \dots > 3$ 、 $lo g_{2} 12 = 3.5850 \dots < lo g_{3} 72 = 3.8928 \dots$ 。また $t = lo g_{2} 3 = 1.5850 \dots < \frac{5}{3} = 1.6667$ 、 $t^{2} = 2.5121 \dots < 3$ 。

答案で省略しない方がよい点

$\frac{25}{9} = 2.77 \dots < 3$ であることが要。 $t < \frac{5}{3}$ で止めず、2乗して $3$ と比べるところまで進める。
$t = lo g_{2} 3$ の値を小数で「だいたい $1.58$ 」と置いて済ませない。前半の結果から $t < \frac{5}{3}$ が厳密に言える。
底の変換は $lo g_{3} 2 = \frac{1}{lo g _{2} 3}$ 。 $lo g_{2} 3$ と混同しない。

(5) $∣ z - i ∣ = 1$ 上を $z$ が動くとき、 $w = \frac{( i + 1 ) z + 3}{2}$ の描く図形を求める

答中心 $1 + \frac{i}{2}$ 、半径 $\frac{2}{2}$ の円

方針 $w$ は $z$ の1次式なので、回転と拡大と平行移動しか起きない。円は円のまま写る。 $z$ について解いて条件式に入れるか、 $z = i + e^{i θ}$ と置いて直接代入するかのどちらでもよい。

$z = i + e^{i θ}$ （ $θ$ は実数）と書けるので、そのまま代入する。

w = \frac{( 1 + i ) ( i + e ^{i θ} ) + 3}{2} = \frac{( i + i ^{2} ) + 3 + ( 1 + i ) e ^{i θ}}{2}

$i + i^{2} = - 1 + i$ なので分子の定数部分は $(- 1 + i) + 3 = 2 + i$ 。よって

w = \frac{2 + i}{2} + \frac{1 + i}{2} e^{i θ} = (1 + \frac{i}{2}) + \frac{1 + i}{2} e^{i θ}

$\frac{1 + i}{2} = \frac{2}{2}$ で、 $e^{i θ}$ は単位円を一周する。したがって $w$ は

w - (1 + \frac{i}{2}) = \frac{2}{2}

すなわち中心 $1 + \frac{i}{2}$ 、半径 $\frac{2}{2}$ の円。 $θ$ が $0$ から $2 π$ を動けば一周するので、円全体が描かれる。

別解

z

について解く

$z = \frac{2 w - 3}{1 + i}$ を $∣ z - i ∣ = 1$ に入れる。

\frac{2 w - 3}{1 + i} - i = 1 ⟺ 2 w - 3 - i (1 + i) = ∣1 + i ∣ = 2

$i (1 + i) = - 1 + i$ だから $∣2 w - 2 - i ∣ = 2$ 、両辺を $2$ で割って同じ式になる。

検算

中心は $z$ の中心 $i$ を同じ式で写した点： $\frac{( 1 + i ) i + 3}{2} = \frac{- 1 + i + 3}{2} = \frac{2 + i}{2} = 1 + \frac{i}{2}$ で一致する。半径は元の $1$ に $\frac{1 + i}{2} = \frac{2}{2}$ を掛けたもの。

答案で省略しない方がよい点

1次式なので円は円に写る。わざわざ $w = u + v i$ と実部虚部に分けて計算すると、見通しが悪くなる。
半径は $\frac{1 + i}{2} = \frac{2}{2}$ 。 $\frac{1 + i}{2}$ の実部 $\frac{1}{2}$ と取り違えない。

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問題文について

(1)k>−1 のとき、k(x2+y2−3)+x2+y2−2x+3y+5=0 が円を表す k の範囲を求める（1点は円とみなさない）

(2)O(0,0),A(1,7),B(−2,−2) とし、辺 AB を 2:1 に内分する点を C とする。OC を OA,OB で表し、OA⋅OC を求めて ∠AOC と 60∘ を比べる

(3)a−b=1 のとき sin(aθ)cos(bθ)=cos(aθ)sin(bθ)+sin2θ をみたす θ（0≤θ<2π）をすべて求める

(4)3 と 5log3​2 の大小、および log2​12 と log3​72 の大小を調べる

(5)∣z−i∣=1 上を z が動くとき、w=2(i+1)z+3​ の描く図形を求める

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(1) $k > - 1$ のとき、 $k (x^{2} + y^{2} - 3) + x^{2} + y^{2} - 2 x + 3 y + 5 = 0$ が円を表す $k$ の範囲を求める（1点は円とみなさない）

(2) $O (0, 0), A (1, 7), B (- 2, - 2)$ とし、辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $C$ とする。 $OC$ を $OA, OB$ で表し、 $OA \cdot OC$ を求めて $∠ AOC$ と $6 0^{\circ}$ を比べる

(3) $a - b = 1$ のとき $sin (a θ) cos (b θ) = cos (a θ) sin (b θ) + sin 2 θ$ をみたす $θ$ （ $0 \leq θ < 2 π$ ）をすべて求める

(4) $3$ と $5 lo g_{3} 2$ の大小、および $lo g_{2} 12$ と $lo g_{3} 72$ の大小を調べる

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