三重大学　2026年度　前期日程　数学②（医学部医学科・工学部）

第3問微分積分の解答・解説

部分積分の循環・媒介変数表示の曲線の長さ・半角の公式・(1)を(2)で使う当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。数学②（医学部医学科・工学部）の問題文は三重大学が公開しています。

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掲載ページ名「令和8年度一般選抜（前期日程・後期日程）過去問題」／2026/10/06に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $a, b$ を $0$ でない実数として $\int e^{a t} cos (b t) d t$ を求める

答 $\frac{e ^{a t} ( a cos b t + b sin b t )}{a ^{2} + b ^{2}} + C$

方針部分積分を2回すると元の積分が再び現れる。それを $I$ と置いて方程式として解く、という型。

$I = \int e^{a t} cos b t d t$ 、 $J = \int e^{a t} sin b t d t$ と置く。

I = \frac{e ^{a t}}{a} cos b t + \frac{b}{a} \int e^{a t} sin b t d t = \frac{e ^{a t} c o s b t}{a} + \frac{b}{a} J

J = \frac{e ^{a t} s i n b t}{a} - \frac{b}{a} \int e^{a t} cos b t d t = \frac{e ^{a t} s i n b t}{a} - \frac{b}{a} I

下を上に代入すると

I = \frac{e ^{a t} c o s b t}{a} + \frac{b}{a} (\frac{e ^{a t} s i n b t}{a} - \frac{b}{a} I) = \frac{e ^{a t} ( a c o s b t + b s i n b t )}{a ^{2}} - \frac{b ^{2}}{a ^{2}} I

$I$ について整理すると $(1 + \frac{b ^{2}}{a ^{2}}) I = \frac{e ^{a t} ( a cos b t + b sin b t )}{a ^{2}}$ だから

I = \frac{e ^{a t} ( a c o s b t + b s i n b t )}{a ^{2} + b ^{2}} + C

検算

微分すると、 $e^{a t}$ の微分から $a$ 倍が、三角関数の微分から $b$ 倍が出て、 $\frac{( a ^{2} + b ^{2} ) e ^{a t} cos b t}{a ^{2} + b ^{2}} = e^{a t} cos b t$ に戻る。 $b \to 0$ とすると $\frac{e ^{a t}}{a}$ で、これも正しい。

答案で省略しない方がよい点

2回とも同じ側（ $e^{a t}$ を積分する側、または微分する側）に統一する。途中で入れ替えると $I = I$ となって何も出ない。
$a^{2} + b^{2} \neq = 0$ は $a, b$ が $0$ でないことから保証される。

(2) $x = e^{- t} (cos t + sin t)$ 、 $y = e^{- t} (cos t - sin t + 2)$ （ $0 \leq t \leq π$ ）の曲線の長さを求める

答 $\frac{8}{5} (2 + e^{- π})$

方針 $(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2}$ を作ると $1 + cos t$ が現れる。半角の公式で根号が外れるので、あとは (1) の形の積分になる。

積の微分で、 $e^{- t}$ の微分から出る項と三角関数から出る項が打ち消し合う。

\frac{d x}{d t} = e^{- t} (- cos t - sin t - sin t + cos t) = - 2 e^{- t} sin t

\frac{d y}{d t} = e^{- t} (- cos t + sin t - 2 - sin t - cos t) = - 2 e^{- t} (1 + cos t)

2乗して足すと、 $sin^{2} t + (1 + cos t)^{2} = 2 (1 + cos t)$ なので

(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} = 8 e^{- 2 t} (1 + cos t) = 16 e^{- 2 t} cos^{2} \frac{t}{2}

$0 \leq t \leq π$ では $0 \leq \frac{t}{2} \leq \frac{π}{2}$ なので $cos \frac{t}{2} \geq 0$ 。絶対値をそのまま外せる。

L = \int_{0}^{π} 4 e^{- t} cos \frac{t}{2} d t

(1) で $a = - 1$ 、 $b = \frac{1}{2}$ とすると $a^{2} + b^{2} = \frac{5}{4}$ だから

\int e^{- t} cos \frac{t}{2} d t = \frac{4}{5} e^{- t} (- cos \frac{t}{2} + \frac{1}{2} sin \frac{t}{2}) + C

L = \frac{16}{5} [e^{- t} (- cos \frac{t}{2} + \frac{1}{2} sin \frac{t}{2})]_{0}^{π} = \frac{16}{5} (\frac{e ^{- π}}{2} + 1) = \frac{8}{5} (2 + e^{- π})

検算

$\frac{8}{5} (2 + e^{- π}) = 3.269142269 \dots$ 。曲線を200万個の線分で近似して長さを測っても同じ値になる。 $e^{- π} = 0.0432 \dots$ は小さいので、 $\frac{16}{5} = 3.2$ よりわずかに大きいだけ、という見当もつく。

答案で省略しない方がよい点

$cos^{2} \frac{t}{2} = cos \frac{t}{2}$ 。区間が $[0, π]$ だから正だと確認してから外す。 $t$ が $π$ を超える問題なら場合分けが要る。
$1 + cos t = 2 cos^{2} \frac{t}{2}$ に気づかないと、根号が外れず先に進めない。
$\frac{d y}{d t}$ の定数 $2$ は微分で $- 2 e^{- t}$ を生む。これが $1 + cos t$ の $1$ の出どころなので、落とすと形が崩れる。