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横浜国立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

横国理系 2025年度数学第4問（微分法・数列（数III））の解答・解説

横浜国立大学（横国理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第4問（分野：微分法・数列（数III））について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「指数関数の接線不等式・漸化式の比の評価と望遠鏡積」を扱います。

出題テーマ：指数関数の接線不等式・漸化式の比の評価と望遠鏡積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)すべての実数 $x$ に対して $e^{x} ≧ x + 1$ が成り立つことを示す

答（証明は本文参照）

$g (x) = e^{x} - (x + 1)$ とおいて微分し、 $x = 0$ で最小値 $0$ をとることを示す。

関数 $g (x) = e^{x} - x - 1$ を考えると、すべての実数 $x$ で微分可能であり

g^{'} (x) = e^{x} - 1

である。 $x < 0$ のとき $g^{'} (x) < 0$ 、 $x = 0$ のとき $g^{'} (0) = 0$ 、 $x > 0$ のとき $g^{'} (x) > 0$ であるから、 $g (x)$ は $x ≦ 0$ で単調減少、 $x ≧ 0$ で単調増加となり、 $x = 0$ で最小値 $g (0) = e^{0} - 0 - 1 = 0$ をとる。したがって、すべての実数 $x$ に対して $g (x) ≧ 0$ 、すなわち

e^{x} ≧ x + 1

が成り立つ（等号成立は $x = 0$ のときのみ）。（証明終）

(2) $a_{1} = 1, a_{n} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} a_{n - 1} (n = 2, 3, 4, \dots)$ で定められる数列 ${a_{n}}$ について、(i) $n ≧ 2$ で $1 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}$ 、(ii) $n ≧ 1$ で $1 ≦ a_{n} < e^{\frac{1}{3}}$ を示す

答（証明は本文参照）

(i) 左側の不等式は $(1 - \frac{1}{3 n})^{3}$ を展開して $1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n}$ と比較し、右側の不等式は $\frac{n}{n - 1} = 1 + \frac{1}{n - 1}$ と $1 - \frac{1}{3 n}$ のそれぞれに (1) の不等式 $1 + x < e^{x} (x \neq = 0)$ を適用する。(ii) $k = 2, \dots, n$ について (i) の辺々の積をとり、部分分数分解で指数の和を計算する。

(i) の証明　 $a_{1} = 1 > 0$ および漸化式より、すべての自然数 $n$ について $a_{n} > 0$ であり、 $n ≧ 2$ のとき

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3}

である。まず左側の不等式を示す。 $(1 - \frac{1}{3 n})^{3}$ を展開すると

(1 - \frac{1}{3 n})^{3} = 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{3 n ^{2}} - \frac{1}{27 n ^{3}} = \frac{n - 1}{n} + \frac{9 n - 1}{27 n ^{3}} > \frac{n - 1}{n}

（ $n ≧ 2$ より $9 n - 1 > 0$ ）であるから、両辺に $\frac{n}{n - 1} > 0$ を掛けると

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} > 1

を得る。次に右側の不等式を示す。(1) で示した不等式 $1 + x ≦ e^{x}$ において $x \neq = 0$ のとき等号は成り立たないから、 $x = \frac{1}{n - 1} \neq = 0$ および $x = - \frac{1}{3 n} \neq = 0$ を代入すると

\frac{n}{n - 1} = 1 + \frac{1}{n - 1} < e^{\frac{1}{n - 1}}, 0 < 1 - \frac{1}{3 n} < e^{- \frac{1}{3 n}}

が成り立つ。第2式を3乗して第1式と辺々掛け合わせると

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} < e^{\frac{1}{n - 1}} \cdot (e^{- \frac{1}{3 n}})^{3} = e^{\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n ( n - 1 )}}

ではまだ指数が大きいので、 $\frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3}$ を先に展開・整理してから (1) を適用する。実際、

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (\frac{n - 1}{n} + \frac{9 n - 1}{27 n ^{3}}) = 1 + \frac{9 n - 1}{27 n ^{2} ( n - 1 )} < 1 + \frac{9 n}{27 n ^{2} ( n - 1 )} = 1 + \frac{1}{3 n ( n - 1 )}

であり、(1) の不等式で $x = \frac{1}{3 n ( n - 1 )} > 0$ とおけば $1 + \frac{1}{3 n ( n - 1 )} < e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}$ であるから

1 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}

が成り立つ。

(ii) の証明　 $n = 1$ のときは $a_{1} = 1$ より $1 ≦ a_{1} < e^{\frac{1}{3}}$ が成り立つ。 $n ≧ 2$ のとき、(i) の不等式で $n$ を $k (k = 2, 3, \dots, n)$ に置き換えて辺々の積をとると、 $a_{1} = 1$ より

1 < k = 2 \prod n \frac{a _{k}}{a _{k - 1}} = a_{n} < k = 2 \prod n e^{\frac{1}{3 k ( k - 1 )}} = exp {\frac{1}{3} k = 2 \sum n \frac{1}{k ( k - 1 )}}

となる。ここで

k = 2 \sum n \frac{1}{k ( k - 1 )} = k = 2 \sum n (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = 1 - \frac{1}{n} < 1

であり、指数関数 $e^{x}$ は単調増加であるから

1 < a_{n} < e^{\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{n})} < e^{\frac{1}{3}}

が成り立つ。以上より、すべての自然数 $n$ に対して $1 ≦ a_{n} < e^{\frac{1}{3}}$ が成り立つ。（証明終）

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