大阪大学　2025年度　前期日程　理系

第2問微分（3次関数）の解答・解説

極大と極小の差・解と係数の関係・変曲点・軌跡当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

答 $f (α) - f (β) = 4 (p^{2} - m)^{\frac{3}{2}}$ （ただし $p^{2} > m$ ）

$f (α) - f (β) = \int_{β}^{α} f^{'} d x$ と見ると、 $(β - α)^{3}$ の形にまとまる。

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 p x + 3 m = 3 (x^{2} + 2 p x + m)

である。極大と極小をもつので $f^{'} = 0$ は相異なる2実解 $α < β$ をもち、判別式より $p^{2} - m > 0$ である。解と係数の関係から

α + β = - 2 p, α β = m, β - α = 2 p^{2} - m

である。 $f^{'} = 3 (x - α) (x - β)$ なので

f (α) - f (β) = \int_{β}^{α} f^{'} (x) d x = - 3 \int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x

である。よく知られた公式 $\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = - \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ から

f (α) - f (β) = \frac{( β - α ) ^{3}}{2} = \frac{( 2 p ^{2} - m ) ^{3}}{2} = 4 (p^{2} - m)^{\frac{3}{2}}

である。

$α$ が極大、 $β$ が極小なので $α < β$ 。向きを逆にすると符号を間違える。

3組の $(p, m)$ で、極値を直接計算した差とこの式が一致した。

答曲線 $y = x^{3} - 3 x$ 全体

条件から $m = p^{2} - 1$ 。変曲点は $f^{''} = 0$ の $x = - p$ 。

(1) より $4 (p^{2} - m)^{\frac{3}{2}} = 4$ 、つまり $p^{2} - m = 1$ なので

m = p^{2} - 1

である（このとき $p^{2} - m = 1 > 0$ なので、確かに極大・極小をもつ）。

$f^{''} (x) = 6 x + 6 p$ なので変曲点の $x$ 座標は $x = - p$ で、

y = f (- p) = - p^{3} + 3 p^{3} - 3 m p = 2 p^{3} - 3 p (p^{2} - 1) = - p^{3} + 3 p

である。変曲点を $(X, Y)$ とすると $X = - p$ 、つまり $p = - X$ なので

Y = - (- X)^{3} + 3 (- X) = X^{3} - 3 X

である。 $p$ は実数全体を動けるので $X$ も実数全体を動く。したがって軌跡は曲線

y = x^{3} - 3 x

の全体である。

変曲点の軌跡 y = x³ − 3x（太線）。細い曲線は p = −1.4（m = p² − 1）のときの y = f(x) で、その変曲点が軌跡の上に乗っている。

$f (α) - f (β)$ が一定なら「極値の高さの差」が一定。その条件が $p^{2} - m = 1$ という、 $p$ と $m$ の間のきれいな関係になる。

$p = - 2, - 0.5, 0, 1, 2.5$ で変曲点を計算すると、どれも $y = x^{3} - 3 x$ の上にあった。

「軌跡を求めよ」なので、動ける範囲（ここでは全体）まで答える。 $X$ が全実数をとることを一言添える。

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

合格答案をつくる阪大理系数学 2027

阪大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・120ページ・2026年7月27日発売

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。