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大阪大学　2025年度　前期日程　理系

阪大理系 2025年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　ベクトル

内積と正射影・垂線の足・内分点・線分上にある条件当サイトの体感難易度：標準

(1)平面上の三角形 $OAB$ で $∠ AOB$ は鋭角、 $OA = 3$ 、 $OB = t$ とする。 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線の足を $C$ 、 $OC = 1$ とするとき、内積 $OA \cdot OB$ を $t$ で表す

答 $OA \cdot OB = t$

$OC$ は $OA$ の $OB$ 方向への正射影の長さ。

$C$ は $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線の足なので、 $OC = OA ∣ cos ∠ AOB ∣$ である。 $∠ AOB$ は鋭角だから $cos ∠ AOB > 0$ で

cos ∠ AOB = \frac{OC}{OA} = \frac{1}{3}

である。よって

OA \cdot OB = OA \cdot OB cos ∠ AOB = 3 \cdot t \cdot \frac{1}{3} = t

である。

$OA = 3$ と $OC = 1$ で $∠ AOB$ は $arccos \frac{1}{3}$ に固定される。動くのは $t = OB$ だけである。

座標で取り直すと内積はどの $t$ でも $t$ になった。

(2)線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、 $A$ から直線 $OP$ に下ろした垂線と直線 $OB$ の交点を $R$ とする。線分 $OR$ の長さを $t$ で表す

答 $OR = \frac{2 t + 9}{2 t + 1}$

$a = OA$ 、 $b = OB$ とし、 $OR = s b$ とおいて $AR \cdot OP = 0$ を使う。

$a \cdot b = t$ 、 $∣ a ∣^{2} = 9$ 、 $b^{2} = t^{2}$ である。 $P$ は $AB$ を $2 : 1$ に内分するので

OP = \frac{a + 2 b}{3}

である。 $R$ は直線 $OB$ 上なので $OR = s b$ とおける。 $AR ⊥ OP$ より

(s b - a) \cdot (a + 2 b) = 0

である。展開すると

s (a \cdot b) + 2 s b^{2} - ∣ a ∣^{2} - 2 (a \cdot b) = 0

すなわち $s t + 2 s t^{2} = 9 + 2 t$ である。 $t > 0$ より

s = \frac{2 t + 9}{t ( 2 t + 1 )} > 0

となる。 $s > 0$ なので $R$ は半直線 $OB$ 上にあり

OR = s b = s t = \frac{2 t + 9}{2 t + 1}

である。

$t = 1, 3, 5$ などで座標から求めた $OR$ とこの式が一致した。

(3)線分 $OB$ の中点を $M$ とする。 $R$ が線分 $MB$ 上にあるときの $t$ の範囲を求める

答 $\frac{1 + 73}{4} ≦ t ≦ \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}$

$R$ は半直線 $OB$ 上なので、条件は $\frac{t}{2} ≦ OR ≦ t$ 。

$OM = \frac{t}{2}$ 、 $OB = t$ で、 $R$ は半直線 $OB$ 上にあるから、 $R$ が線分 $MB$ 上にある条件は

\frac{t}{2} ≦ \frac{2 t + 9}{2 t + 1} ≦ t

である（ $2 t + 1 > 0$ ）。

右の不等式：両辺に $2 t + 1 > 0$ を掛けて

2 t + 9 ≦ t (2 t + 1), 2 t^{2} - t - 9 ≧ 0

である。 $2 t^{2} - t - 9 = 0$ の解は $t = \frac{1 \pm 73}{4}$ で、 $t > 0$ だから

t ≧ \frac{1 + 73}{4}

である。

左の不等式：同じく両辺に $2 (2 t + 1) > 0$ を掛けて

t (2 t + 1) ≦ 2 (2 t + 9), 2 t^{2} - 3 t - 18 ≦ 0

である。 $2 t^{2} - 3 t - 18 = 0$ の解は $t = \frac{3 \pm 153}{4} = \frac{3 \pm 3 17}{4}$ なので

t ≦ \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}

である。したがって

\frac{1 + 73}{4} ≦ t ≦ \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}

である（ $2.386 \dots ≦ t ≦ 3.842 \dots$ ）。この範囲は $t > 0$ に含まれるので、ほかの条件は要らない。

三角形 OAB と点 P, R, M（図は t = 3.2 のとき）。∠AOB は cos が 1/3 に固定されている。点線は AR で、直線 OP と垂直。R が M と B のあいだに入る t の範囲を聞いている。

$t$ を $0.0001$ 刻みで走査すると、条件をみたすのは $2.3861 ≦ t ≦ 3.8423$ で、式の値 $2.3860009$ と $3.8423292$ に一致した。

$R$ が半直線 $OB$ のどちら側にあるかを (2) で確かめてある（ $s > 0$ ）。確かめずに長さだけで議論しない。

第1問だけのページ

第2問　微分（3次関数）

極大と極小の差・解と係数の関係・変曲点・軌跡当サイトの体感難易度：標準

(1) $f (x) = x^{3} + 3 p x^{2} + 3 m x$ が $x = α$ で極大値、 $x = β$ で極小値をとるとき、 $f (α) - f (β)$ を $p, m$ で表す

答 $f (α) - f (β) = 4 (p^{2} - m)^{\frac{3}{2}}$ （ただし $p^{2} > m$ ）

$f (α) - f (β) = \int_{β}^{α} f^{'} d x$ と見ると、 $(β - α)^{3}$ の形にまとまる。

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 p x + 3 m = 3 (x^{2} + 2 p x + m)

である。極大と極小をもつので $f^{'} = 0$ は相異なる2実解 $α < β$ をもち、判別式より $p^{2} - m > 0$ である。解と係数の関係から

α + β = - 2 p, α β = m, β - α = 2 p^{2} - m

である。 $f^{'} = 3 (x - α) (x - β)$ なので

f (α) - f (β) = \int_{β}^{α} f^{'} (x) d x = - 3 \int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x

である。よく知られた公式 $\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = - \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ から

f (α) - f (β) = \frac{( β - α ) ^{3}}{2} = \frac{( 2 p ^{2} - m ) ^{3}}{2} = 4 (p^{2} - m)^{\frac{3}{2}}

である。

$α$ が極大、 $β$ が極小なので $α < β$ 。向きを逆にすると符号を間違える。

3組の $(p, m)$ で、極値を直接計算した差とこの式が一致した。

(2) $p, m$ が $f (α) - f (β) = 4$ をみたしながら動くとき、曲線 $y = f (x)$ の変曲点の軌跡を求める

答曲線 $y = x^{3} - 3 x$ 全体

条件から $m = p^{2} - 1$ 。変曲点は $f^{''} = 0$ の $x = - p$ 。

(1) より $4 (p^{2} - m)^{\frac{3}{2}} = 4$ 、つまり $p^{2} - m = 1$ なので

m = p^{2} - 1

である（このとき $p^{2} - m = 1 > 0$ なので、確かに極大・極小をもつ）。

$f^{''} (x) = 6 x + 6 p$ なので変曲点の $x$ 座標は $x = - p$ で、

y = f (- p) = - p^{3} + 3 p^{3} - 3 m p = 2 p^{3} - 3 p (p^{2} - 1) = - p^{3} + 3 p

である。変曲点を $(X, Y)$ とすると $X = - p$ 、つまり $p = - X$ なので

Y = - (- X)^{3} + 3 (- X) = X^{3} - 3 X

である。 $p$ は実数全体を動けるので $X$ も実数全体を動く。したがって軌跡は曲線

y = x^{3} - 3 x

の全体である。

変曲点の軌跡 y = x³ − 3x（太線）。細い曲線は p = −1.4（m = p² − 1）のときの y = f(x) で、その変曲点が軌跡の上に乗っている。

$f (α) - f (β)$ が一定なら「極値の高さの差」が一定。その条件が $p^{2} - m = 1$ という、 $p$ と $m$ の間のきれいな関係になる。

$p = - 2, - 0.5, 0, 1, 2.5$ で変曲点を計算すると、どれも $y = x^{3} - 3 x$ の上にあった。

「軌跡を求めよ」なので、動ける範囲（ここでは全体）まで答える。 $X$ が全実数をとることを一言添える。

第2問だけのページ

第3問　図形と方程式

空間の角と内積・軌跡が楕円になる・積の最大最小・端点の扱い当サイトの体感難易度：やや難

座標空間の3点 $O (0, 0, 0)$ 、 $A (0, 1, 1)$ 、 $P (x, y, 0)$ について、 $∠ OAP = 3 0^{\circ}$ かつ $y ≧ 0$ をみたすように $P$ が動くとき、 $(x + 1) (y + 1)$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{9}{4}$ （ $(x, y) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ）、最小値 $1 - \frac{6}{3}$ （ $(x, y) = (- \frac{6}{3}, 0)$ ）

$∠ OAP = 3 0^{\circ}$ を内積で書くと、 $P$ は楕円の上を動く。1変数に直して微分する。

$AO = (0, - 1, - 1)$ 、 $AP = (x, y - 1, - 1)$ で $AO = 2$ である。

AO \cdot AP = - (y - 1) + 1 = 2 - y

なので、 $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ より

\frac{2 - y}{2 x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} + 1} = \frac{3}{2}

である。 $2 - y > 0$ に注意して両辺を2乗し、整理すると

4 (2 - y)^{2} = 6 {x^{2} + (y - 1)^{2} + 1}, 3 x^{2} + y^{2} + 2 y - 2 = 0

すなわち

3 x^{2} + (y + 1)^{2} = 3 \dots (*)

である。これは中心 $(0, - 1)$ 、 $x$ 方向の半径 $1$ 、 $y$ 方向の半径 $3$ の楕円である。 $y ≧ 0$ の部分では $y + 1 ≧ 1 > 0$ なので

y + 1 = 3 (1 - x^{2})

で、 $y ≧ 0$ は $3 (1 - x^{2}) ≧ 1$ 、つまり $x^{2} ≦ \frac{2}{3}$ と同じである。また $y ≦ 3 - 1 < 2$ なので $2 - y > 0$ も自動的に満たされる。

$F = (x + 1) (y + 1)$ とおくと

F (x) = 3 (x + 1) 1 - x^{2} (- \frac{6}{3} ≦ x ≦ \frac{6}{3})

である。微分すると

F^{'} (x) = 3 \cdot \frac{( 1 - x ^{2} ) - x ( x + 1 )}{1 - x ^{2}} = \frac{- 3 ( 2 x - 1 ) ( x + 1 )}{1 - x ^{2}}

である（分子は $- 2 x^{2} - x + 1 = - (2 x - 1) (x + 1)$ ）。定義域では $x + 1 > 0$ なので、符号は $- (2 x - 1)$ で決まり、 $x = \frac{1}{2}$ の前後で正から負に変わる。 $\frac{1}{2} < \frac{6}{3} = 0.816 \dots$ なので $x = \frac{1}{2}$ は定義域の内部にある。

したがって最大は $x = \frac{1}{2}$ のときで

F (\frac{1}{2}) = 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}

である（このとき $y + 1 = \frac{3}{2}$ より $y = \frac{1}{2}$ ）。最小は端点のどちらかで、 $x^{2} = \frac{2}{3}$ のとき $1 - x^{2} = \frac{1}{3}$ だから

F (\pm \frac{6}{3}) = 3 (\pm \frac{6}{3} + 1) \cdot \frac{1}{3} = 1 \pm \frac{6}{3}

である。小さいほうをとって

(最小値) = 1 - \frac{6}{3}

である（このとき $x = - \frac{6}{3}$ 、 $y = 0$ ）。

P の軌跡。楕円 3x² + (y + 1)² = 3 のうち y ≧ 0 の部分（太線）だけを動く。塗りはないが、両端は y = 0 の点で、そこも含む。

$200$ 万点走査すると最大 $2.2500000$ （ $(0.5, 0.5)$ ）、最小 $0.1835034$ （ $(- 0.8164966, 0)$ ）で、式の値と一致した。

2乗するので $2 - y > 0$ を確かめる。また $y ≧ 0$ で定義域が $∣ x ∣ ≦ \frac{6}{3}$ に切れるので、最小は端点になる。

第3問だけのページ

第4問　積分（評価と極限）

絶対値による評価・部分積分・積和の公式・区間のずらし当サイトの体感難易度：やや難

(1) $t > 0$ のとき $- \frac{1}{t} < \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x < \frac{1}{t}$ が成り立つことを示す

答 $\int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x ≦ \int_{t}^{2 t} \frac{d x}{x ^{2}} = \frac{1}{2 t} < \frac{1}{t}$

$∣ sin x ∣ ≦ 1$ で上からおさえる。

$t > 0$ なので $t ≦ x ≦ 2 t$ では $x > 0$ である。 $∣ sin x ∣ ≦ 1$ より

\int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x ≦ \int_{t}^{2 t} \frac{∣ sin x ∣}{x ^{2}} d x ≦ \int_{t}^{2 t} \frac{d x}{x ^{2}} = [- \frac{1}{x}]_{t}^{2 t} = \frac{1}{t} - \frac{1}{2 t} = \frac{1}{2 t}

である。 $\frac{1}{2 t} < \frac{1}{t}$ だから

- \frac{1}{t} < \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x < \frac{1}{t}

である。（証明終わり）

$t = 1, 5, 50, 500$ で数値積分すると、どれも $\frac{1}{t}$ より小さかった。

(2) $t \to \infty lim \int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x = 0$ を示す

答部分積分して $\frac{sin 2 t}{2 t} - \frac{sin t}{t} + \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x$ 。3つとも $0$ に行く

$\frac{1}{x}$ を微分する側にとって部分積分すると、(1) の形が出る。

$(sin x)^{'} = cos x$ を使って部分積分すると

\int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x = [\frac{sin x}{x}]_{t}^{2 t} + \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x = \frac{sin 2 t}{2 t} - \frac{sin t}{t} + \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x

である。 $∣ sin ∣ ≦ 1$ と (1) より

\int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x ≦ \frac{1}{2 t} + \frac{1}{t} + \frac{1}{t} = \frac{5}{2 t}

である。 $t \to \infty$ で右辺は $0$ に行くので、はさみうちの原理より

t \to \infty lim \int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x = 0

である。（証明終わり）

$t = 50$ で $0.00048$ 、 $t = 500$ で $0.0018$ と、 $0$ の近くにとどまった。

(3) $f (x) = sin \frac{3 x}{2} sin \frac{x}{2}$ とするとき、 $t \to \infty lim \int_{1}^{t} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{cos x}{x} d x$ を示す

答積和の公式で $f = \frac{cos x - cos 2 x}{2}$ 。置換して区間をずらすと (2) が効く

$\int_{1}^{t} \frac{cos 2 x}{x} d x = \int_{2}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x$ と直すのがかぎ。

積和の公式より

f (x) = sin \frac{3 x}{2} sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} (cos x - cos 2 x)

である。よって

\int_{1}^{t} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{cos x}{x} d x - \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{cos 2 x}{x} d x

である。後ろの積分で $u = 2 x$ とおくと $\frac{d x}{x} = \frac{d u}{u}$ なので

\int_{1}^{t} \frac{cos 2 x}{x} d x = \int_{2}^{2 t} \frac{cos u}{u} d u

である。したがって

\int_{1}^{t} \frac{f}{x} d x = \frac{1}{2} (\int_{1}^{t} \frac{cos x}{x} d x - \int_{2}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x)

である。 $t > 2$ として区間を分けると、 $\int_{2}^{t}$ が共通で消えて

= \frac{1}{2} (\int_{1}^{2} \frac{cos x}{x} d x - \int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x)

となる。(2) より第2項は $t \to \infty$ で $0$ に行くので

t \to \infty lim \int_{1}^{t} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{cos x}{x} d x

である。（証明終わり）

$\frac{cos 2 x}{x}$ の積分が $\frac{cos u}{u}$ の積分に化けるのは、 $\frac{d x}{x}$ が「比の形」で倍率に鈍感だから。この手の「 $lo g$ 的な積分」でよく使う。

$t = 1 0^{3}, 1 0^{4}$ で左辺は $0.04297, 0.04276$ となり、右辺 $0.0427885$ に近づいた。

$\int_{1}^{t} \frac{cos 2 x}{x} d x$ を $\int_{2}^{2 t}$ に直すとき、下端も $2$ になる。上端だけ変えない。

第4問だけのページ

第5問　確率

文字列の入れかえ・偶奇で場合を分ける・対称性・確率の漸化式当サイトの体感難易度：やや難

(1) $A, B, C$ を並べた文字列に対し、表なら1文字目と2文字目、裏なら2文字目と3文字目を入れかえる。 $ABC$ から始めて $n$ 回後に $ABC$ である確率を $p_{n}$ 、 $BCA$ である確率を $q_{n}$ とするとき、 $p_{2 k} - q_{2 k}$ を求める

答 $p_{2 k} - q_{2 k} = (\frac{1}{4})^{k}$

$2$ 回ぶんの操作を考えると、3つの「偶順列」の間の移り方が対称になる。

1回の操作はどちらも「2文字の入れかえ」なので、 $n$ 回後の並びは、もとの並びを $n$ 回入れかえたものである。入れかえ1回で偶奇が変わるので、 $n$ が奇数のときは $ABC$ （入れかえ0回）にも $BCA$ （入れかえ2回）にもなれない。つまり奇数回後に現れるのは $BAC, ACB, CBA$ の3つだけである。

偶数回後に現れるのは $ABC, BCA, CAB$ の3つである。 $2$ 回の操作をまとめて考えると、たとえば $ABC$ からは

表表： $ABC \to BAC \to ABC$
表裏： $ABC \to BAC \to BCA$
裏表： $ABC \to ACB \to CAB$
裏裏： $ABC \to ACB \to ABC$

なので、 $ABC$ のままが $\frac{1}{2}$ 、 $BCA$ と $CAB$ がそれぞれ $\frac{1}{4}$ である。 $BCA$ 、 $CAB$ から始めても同じように調べると、どの状態からも

自分自身に $\frac{1}{2}$ 、ほかの2つにそれぞれ $\frac{1}{4}$

となる。 $a_{k} = p_{2 k}$ 、 $b_{k} = q_{2 k}$ 、 $c_{k}$ を $CAB$ である確率とすると

a_{k + 1} = \frac{1}{2} a_{k} + \frac{1}{4} b_{k} + \frac{1}{4} c_{k}, b_{k + 1} = \frac{1}{4} a_{k} + \frac{1}{2} b_{k} + \frac{1}{4} c_{k}

である。差をとると $c_{k}$ が消えて

a_{k + 1} - b_{k + 1} = \frac{1}{4} (a_{k} - b_{k})

となる。 $k = 0$ のとき（ $0$ 回後） $a_{0} = 1$ 、 $b_{0} = 0$ なので $a_{0} - b_{0} = 1$ である。よって

p_{2 k} - q_{2 k} = a_{k} - b_{k} = (\frac{1}{4})^{k}

である。

$k = 1, \dots, 8$ で全状態を分数のまま追うと、差は $\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \dots$ と一致した。

(2) $n$ を正の整数とするとき $p_{n}$ を求める

答 $n$ が奇数のとき $p_{n} = 0$ 、 $n$ が偶数のとき $p_{n} = \frac{1}{3} (1 + 2^{1 - n})$

(1) の漸化式で $b_{k} + c_{k} = 1 - a_{k}$ を使うと、 $a_{k}$ だけの漸化式になる。

$n$ が奇数のときは (1) で見たとおり $ABC$ にはなれないので $p_{n} = 0$ である。

$n = 2 k$ のときは、 $a_{k} + b_{k} + c_{k} = 1$ を使って

a_{k + 1} = \frac{1}{2} a_{k} + \frac{1}{4} (b_{k} + c_{k}) = \frac{1}{2} a_{k} + \frac{1}{4} (1 - a_{k}) = \frac{1}{4} a_{k} + \frac{1}{4}

である。 $a = \frac{1}{4} a + \frac{1}{4}$ を解くと $a = \frac{1}{3}$ なので

a_{k} - \frac{1}{3} = \frac{1}{4} (a_{k - 1} - \frac{1}{3})

である。 $a_{0} = 1$ より $a_{0} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ だから

a_{k} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{4})^{k}

である。 $n = 2 k$ のとき $(\frac{1}{4})^{k} = 2^{- 2 k} = 2^{- n}$ なので

p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{- n} = \frac{1}{3} (1 + 2^{1 - n})

である。

$n \to \infty$ では $p_{n}$ は偶数番目で $\frac{1}{3}$ に近づく。 $2$ 回ぶんの操作が3つの状態を対称に混ぜるので、行き着く先が $\frac{1}{3}$ ずつになる。

$p_{2} = \frac{1}{2}$ 、 $p_{4} = \frac{3}{8}$ 、 $p_{6} = \frac{11}{32}$ 、 $p_{8} = \frac{43}{128}$ が式と一致し、奇数番目はすべて $0$ だった。

偶奇で答えが変わる。奇数のとき $0$ だと先に言い切ってから、偶数の場合を計算する。

第5問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)平面上の三角形 OAB で ∠AOB は鋭角、OA=3、OB=t とする。A から直線 OB に下ろした垂線の足を C、OC=1 とするとき、内積 OA⋅OB を t で表す

(2)線分 AB を 2:1 に内分する点を P、A から直線 OP に下ろした垂線と直線 OB の交点を R とする。線分 OR の長さを t で表す

(3)線分 OB の中点を M とする。R が線分 MB 上にあるときの t の範囲を求める

(1)f(x)=x3+3px2+3mx が x=α で極大値、x=β で極小値をとるとき、f(α)−f(β) を p,m で表す

(2)p,m が f(α)−f(β)=4 をみたしながら動くとき、曲線 y=f(x) の変曲点の軌跡を求める

座標空間の3点 O(0,0,0)、A(0,1,1)、P(x,y,0) について、∠OAP=30∘ かつ y≧0 をみたすように P が動くとき、(x+1)(y+1) の最大値と最小値を求める

(1)t>0 のとき −t1​<∫t2t​x2sinx​dx<t1​ が成り立つことを示す

(2)t→∞lim​∫t2t​xcosx​dx=0 を示す

(3)f(x)=sin23x​sin2x​ とするとき、t→∞lim​∫1t​xf(x)​dx=21​∫12​xcosx​dx を示す

(1)A,B,C を並べた文字列に対し、表なら1文字目と2文字目、裏なら2文字目と3文字目を入れかえる。ABC から始めて n 回後に ABC である確率を pn​、BCA である確率を qn​ とするとき、p2k​−q2k​ を求める

(2)n を正の整数とするとき pn​ を求める

同じ形式の問題を、5回分

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(1)平面上の三角形 $OAB$ で $∠ AOB$ は鋭角、 $OA = 3$ 、 $OB = t$ とする。 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線の足を $C$ 、 $OC = 1$ とするとき、内積 $OA \cdot OB$ を $t$ で表す

(2)線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、 $A$ から直線 $OP$ に下ろした垂線と直線 $OB$ の交点を $R$ とする。線分 $OR$ の長さを $t$ で表す

(3)線分 $OB$ の中点を $M$ とする。 $R$ が線分 $MB$ 上にあるときの $t$ の範囲を求める

(1) $f (x) = x^{3} + 3 p x^{2} + 3 m x$ が $x = α$ で極大値、 $x = β$ で極小値をとるとき、 $f (α) - f (β)$ を $p, m$ で表す

(2) $p, m$ が $f (α) - f (β) = 4$ をみたしながら動くとき、曲線 $y = f (x)$ の変曲点の軌跡を求める

座標空間の3点 $O (0, 0, 0)$ 、 $A (0, 1, 1)$ 、 $P (x, y, 0)$ について、 $∠ OAP = 3 0^{\circ}$ かつ $y ≧ 0$ をみたすように $P$ が動くとき、 $(x + 1) (y + 1)$ の最大値と最小値を求める

(1) $t > 0$ のとき $- \frac{1}{t} < \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x < \frac{1}{t}$ が成り立つことを示す

(2) $t \to \infty lim \int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x = 0$ を示す

(3) $f (x) = sin \frac{3 x}{2} sin \frac{x}{2}$ とするとき、 $t \to \infty lim \int_{1}^{t} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{cos x}{x} d x$ を示す

(1) $A, B, C$ を並べた文字列に対し、表なら1文字目と2文字目、裏なら2文字目と3文字目を入れかえる。 $ABC$ から始めて $n$ 回後に $ABC$ である確率を $p_{n}$ 、 $BCA$ である確率を $q_{n}$ とするとき、 $p_{2 k} - q_{2 k}$ を求める

(2) $n$ を正の整数とするとき $p_{n}$ を求める