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大阪大学　2025年度　前期日程　理系

第4問積分（評価と極限）の解答・解説

絶対値による評価・部分積分・積和の公式・区間のずらし当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $t > 0$ のとき $- \frac{1}{t} < \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x < \frac{1}{t}$ が成り立つことを示す

答 $\int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x ≦ \int_{t}^{2 t} \frac{d x}{x ^{2}} = \frac{1}{2 t} < \frac{1}{t}$

$∣ sin x ∣ ≦ 1$ で上からおさえる。

$t > 0$ なので $t ≦ x ≦ 2 t$ では $x > 0$ である。 $∣ sin x ∣ ≦ 1$ より

\int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x ≦ \int_{t}^{2 t} \frac{∣ sin x ∣}{x ^{2}} d x ≦ \int_{t}^{2 t} \frac{d x}{x ^{2}} = [- \frac{1}{x}]_{t}^{2 t} = \frac{1}{t} - \frac{1}{2 t} = \frac{1}{2 t}

である。 $\frac{1}{2 t} < \frac{1}{t}$ だから

- \frac{1}{t} < \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x < \frac{1}{t}

である。（証明終わり）

$t = 1, 5, 50, 500$ で数値積分すると、どれも $\frac{1}{t}$ より小さかった。

(2) $t \to \infty lim \int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x = 0$ を示す

答部分積分して $\frac{sin 2 t}{2 t} - \frac{sin t}{t} + \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x$ 。3つとも $0$ に行く

$\frac{1}{x}$ を微分する側にとって部分積分すると、(1) の形が出る。

$(sin x)^{'} = cos x$ を使って部分積分すると

\int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x = [\frac{sin x}{x}]_{t}^{2 t} + \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x = \frac{sin 2 t}{2 t} - \frac{sin t}{t} + \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x

である。 $∣ sin ∣ ≦ 1$ と (1) より

\int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x ≦ \frac{1}{2 t} + \frac{1}{t} + \frac{1}{t} = \frac{5}{2 t}

である。 $t \to \infty$ で右辺は $0$ に行くので、はさみうちの原理より

t \to \infty lim \int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x = 0

である。（証明終わり）

$t = 50$ で $0.00048$ 、 $t = 500$ で $0.0018$ と、 $0$ の近くにとどまった。

(3) $f (x) = sin \frac{3 x}{2} sin \frac{x}{2}$ とするとき、 $t \to \infty lim \int_{1}^{t} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{cos x}{x} d x$ を示す

答積和の公式で $f = \frac{cos x - cos 2 x}{2}$ 。置換して区間をずらすと (2) が効く

$\int_{1}^{t} \frac{cos 2 x}{x} d x = \int_{2}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x$ と直すのがかぎ。

積和の公式より

f (x) = sin \frac{3 x}{2} sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} (cos x - cos 2 x)

である。よって

\int_{1}^{t} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{cos x}{x} d x - \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{cos 2 x}{x} d x

である。後ろの積分で $u = 2 x$ とおくと $\frac{d x}{x} = \frac{d u}{u}$ なので

\int_{1}^{t} \frac{cos 2 x}{x} d x = \int_{2}^{2 t} \frac{cos u}{u} d u

である。したがって

\int_{1}^{t} \frac{f}{x} d x = \frac{1}{2} (\int_{1}^{t} \frac{cos x}{x} d x - \int_{2}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x)

である。 $t > 2$ として区間を分けると、 $\int_{2}^{t}$ が共通で消えて

= \frac{1}{2} (\int_{1}^{2} \frac{cos x}{x} d x - \int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x)

となる。(2) より第2項は $t \to \infty$ で $0$ に行くので

t \to \infty lim \int_{1}^{t} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{cos x}{x} d x

である。（証明終わり）

$\frac{cos 2 x}{x}$ の積分が $\frac{cos u}{u}$ の積分に化けるのは、 $\frac{d x}{x}$ が「比の形」で倍率に鈍感だから。この手の「 $lo g$ 的な積分」でよく使う。

$t = 1 0^{3}, 1 0^{4}$ で左辺は $0.04297, 0.04276$ となり、右辺 $0.0427885$ に近づいた。

$\int_{1}^{t} \frac{cos 2 x}{x} d x$ を $\int_{2}^{2 t}$ に直すとき、下端も $2$ になる。上端だけ変えない。

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問題文について

(1)t>0 のとき −t1​<∫t2t​x2sinx​dx<t1​ が成り立つことを示す

(2)t→∞lim​∫t2t​xcosx​dx=0 を示す

(3)f(x)=sin23x​sin2x​ とするとき、t→∞lim​∫1t​xf(x)​dx=21​∫12​xcosx​dx を示す

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