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大阪大学　2025年度　前期日程　理系

第1問ベクトルの解答・解説

内積と正射影・垂線の足・内分点・線分上にある条件当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)平面上の三角形 $OAB$ で $∠ AOB$ は鋭角、 $OA = 3$ 、 $OB = t$ とする。 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線の足を $C$ 、 $OC = 1$ とするとき、内積 $OA \cdot OB$ を $t$ で表す

答 $OA \cdot OB = t$

$OC$ は $OA$ の $OB$ 方向への正射影の長さ。

$C$ は $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線の足なので、 $OC = OA ∣ cos ∠ AOB ∣$ である。 $∠ AOB$ は鋭角だから $cos ∠ AOB > 0$ で

cos ∠ AOB = \frac{OC}{OA} = \frac{1}{3}

である。よって

OA \cdot OB = OA \cdot OB cos ∠ AOB = 3 \cdot t \cdot \frac{1}{3} = t

である。

$OA = 3$ と $OC = 1$ で $∠ AOB$ は $arccos \frac{1}{3}$ に固定される。動くのは $t = OB$ だけである。

座標で取り直すと内積はどの $t$ でも $t$ になった。

(2)線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、 $A$ から直線 $OP$ に下ろした垂線と直線 $OB$ の交点を $R$ とする。線分 $OR$ の長さを $t$ で表す

答 $OR = \frac{2 t + 9}{2 t + 1}$

$a = OA$ 、 $b = OB$ とし、 $OR = s b$ とおいて $AR \cdot OP = 0$ を使う。

$a \cdot b = t$ 、 $∣ a ∣^{2} = 9$ 、 $b^{2} = t^{2}$ である。 $P$ は $AB$ を $2 : 1$ に内分するので

OP = \frac{a + 2 b}{3}

である。 $R$ は直線 $OB$ 上なので $OR = s b$ とおける。 $AR ⊥ OP$ より

(s b - a) \cdot (a + 2 b) = 0

である。展開すると

s (a \cdot b) + 2 s b^{2} - ∣ a ∣^{2} - 2 (a \cdot b) = 0

すなわち $s t + 2 s t^{2} = 9 + 2 t$ である。 $t > 0$ より

s = \frac{2 t + 9}{t ( 2 t + 1 )} > 0

となる。 $s > 0$ なので $R$ は半直線 $OB$ 上にあり

OR = s b = s t = \frac{2 t + 9}{2 t + 1}

である。

$t = 1, 3, 5$ などで座標から求めた $OR$ とこの式が一致した。

(3)線分 $OB$ の中点を $M$ とする。 $R$ が線分 $MB$ 上にあるときの $t$ の範囲を求める

答 $\frac{1 + 73}{4} ≦ t ≦ \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}$

$R$ は半直線 $OB$ 上なので、条件は $\frac{t}{2} ≦ OR ≦ t$ 。

$OM = \frac{t}{2}$ 、 $OB = t$ で、 $R$ は半直線 $OB$ 上にあるから、 $R$ が線分 $MB$ 上にある条件は

\frac{t}{2} ≦ \frac{2 t + 9}{2 t + 1} ≦ t

である（ $2 t + 1 > 0$ ）。

右の不等式：両辺に $2 t + 1 > 0$ を掛けて

2 t + 9 ≦ t (2 t + 1), 2 t^{2} - t - 9 ≧ 0

である。 $2 t^{2} - t - 9 = 0$ の解は $t = \frac{1 \pm 73}{4}$ で、 $t > 0$ だから

t ≧ \frac{1 + 73}{4}

である。

左の不等式：同じく両辺に $2 (2 t + 1) > 0$ を掛けて

t (2 t + 1) ≦ 2 (2 t + 9), 2 t^{2} - 3 t - 18 ≦ 0

である。 $2 t^{2} - 3 t - 18 = 0$ の解は $t = \frac{3 \pm 153}{4} = \frac{3 \pm 3 17}{4}$ なので

t ≦ \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}

である。したがって

\frac{1 + 73}{4} ≦ t ≦ \frac{3 ( 1 + 17 )}{4}

である（ $2.386 \dots ≦ t ≦ 3.842 \dots$ ）。この範囲は $t > 0$ に含まれるので、ほかの条件は要らない。

三角形 OAB と点 P, R, M（図は t = 3.2 のとき）。∠AOB は cos が 1/3 に固定されている。点線は AR で、直線 OP と垂直。R が M と B のあいだに入る t の範囲を聞いている。

$t$ を $0.0001$ 刻みで走査すると、条件をみたすのは $2.3861 ≦ t ≦ 3.8423$ で、式の値 $2.3860009$ と $3.8423292$ に一致した。

$R$ が半直線 $OB$ のどちら側にあるかを (2) で確かめてある（ $s > 0$ ）。確かめずに長さだけで議論しない。

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問題文について

(1)平面上の三角形 OAB で ∠AOB は鋭角、OA=3、OB=t とする。A から直線 OB に下ろした垂線の足を C、OC=1 とするとき、内積 OA⋅OB を t で表す

(2)線分 AB を 2:1 に内分する点を P、A から直線 OP に下ろした垂線と直線 OB の交点を R とする。線分 OR の長さを t で表す

(3)線分 OB の中点を M とする。R が線分 MB 上にあるときの t の範囲を求める

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(2)線分 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、 $A$ から直線 $OP$ に下ろした垂線と直線 $OB$ の交点を $R$ とする。線分 $OR$ の長さを $t$ で表す

(3)線分 $OB$ の中点を $M$ とする。 $R$ が線分 $MB$ 上にあるときの $t$ の範囲を求める