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大阪大学　2025年度　前期日程　理系

第3問図形と方程式の解答・解説

空間の角と内積・軌跡が楕円になる・積の最大最小・端点の扱い当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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座標空間の3点 $O (0, 0, 0)$ 、 $A (0, 1, 1)$ 、 $P (x, y, 0)$ について、 $∠ OAP = 3 0^{\circ}$ かつ $y ≧ 0$ をみたすように $P$ が動くとき、 $(x + 1) (y + 1)$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{9}{4}$ （ $(x, y) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ）、最小値 $1 - \frac{6}{3}$ （ $(x, y) = (- \frac{6}{3}, 0)$ ）

$∠ OAP = 3 0^{\circ}$ を内積で書くと、 $P$ は楕円の上を動く。1変数に直して微分する。

$AO = (0, - 1, - 1)$ 、 $AP = (x, y - 1, - 1)$ で $AO = 2$ である。

AO \cdot AP = - (y - 1) + 1 = 2 - y

なので、 $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ より

\frac{2 - y}{2 x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} + 1} = \frac{3}{2}

である。 $2 - y > 0$ に注意して両辺を2乗し、整理すると

4 (2 - y)^{2} = 6 {x^{2} + (y - 1)^{2} + 1}, 3 x^{2} + y^{2} + 2 y - 2 = 0

すなわち

3 x^{2} + (y + 1)^{2} = 3 \dots (*)

である。これは中心 $(0, - 1)$ 、 $x$ 方向の半径 $1$ 、 $y$ 方向の半径 $3$ の楕円である。 $y ≧ 0$ の部分では $y + 1 ≧ 1 > 0$ なので

y + 1 = 3 (1 - x^{2})

で、 $y ≧ 0$ は $3 (1 - x^{2}) ≧ 1$ 、つまり $x^{2} ≦ \frac{2}{3}$ と同じである。また $y ≦ 3 - 1 < 2$ なので $2 - y > 0$ も自動的に満たされる。

$F = (x + 1) (y + 1)$ とおくと

F (x) = 3 (x + 1) 1 - x^{2} (- \frac{6}{3} ≦ x ≦ \frac{6}{3})

である。微分すると

F^{'} (x) = 3 \cdot \frac{( 1 - x ^{2} ) - x ( x + 1 )}{1 - x ^{2}} = \frac{- 3 ( 2 x - 1 ) ( x + 1 )}{1 - x ^{2}}

である（分子は $- 2 x^{2} - x + 1 = - (2 x - 1) (x + 1)$ ）。定義域では $x + 1 > 0$ なので、符号は $- (2 x - 1)$ で決まり、 $x = \frac{1}{2}$ の前後で正から負に変わる。 $\frac{1}{2} < \frac{6}{3} = 0.816 \dots$ なので $x = \frac{1}{2}$ は定義域の内部にある。

したがって最大は $x = \frac{1}{2}$ のときで

F (\frac{1}{2}) = 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}

である（このとき $y + 1 = \frac{3}{2}$ より $y = \frac{1}{2}$ ）。最小は端点のどちらかで、 $x^{2} = \frac{2}{3}$ のとき $1 - x^{2} = \frac{1}{3}$ だから

F (\pm \frac{6}{3}) = 3 (\pm \frac{6}{3} + 1) \cdot \frac{1}{3} = 1 \pm \frac{6}{3}

である。小さいほうをとって

(最小値) = 1 - \frac{6}{3}

である（このとき $x = - \frac{6}{3}$ 、 $y = 0$ ）。

P の軌跡。楕円 3x² + (y + 1)² = 3 のうち y ≧ 0 の部分（太線）だけを動く。塗りはないが、両端は y = 0 の点で、そこも含む。

$200$ 万点走査すると最大 $2.2500000$ （ $(0.5, 0.5)$ ）、最小 $0.1835034$ （ $(- 0.8164966, 0)$ ）で、式の値と一致した。

2乗するので $2 - y > 0$ を確かめる。また $y ≧ 0$ で定義域が $∣ x ∣ ≦ \frac{6}{3}$ に切れるので、最小は端点になる。

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座標空間の3点 O(0,0,0)、A(0,1,1)、P(x,y,0) について、∠OAP=30∘ かつ y≧0 をみたすように P が動くとき、(x+1)(y+1) の最大値と最小値を求める

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