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大阪大学　2025年度　前期日程　理系

第5問確率の解答・解説

文字列の入れかえ・偶奇で場合を分ける・対称性・確率の漸化式当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $A, B, C$ を並べた文字列に対し、表なら1文字目と2文字目、裏なら2文字目と3文字目を入れかえる。 $ABC$ から始めて $n$ 回後に $ABC$ である確率を $p_{n}$ 、 $BCA$ である確率を $q_{n}$ とするとき、 $p_{2 k} - q_{2 k}$ を求める

答 $p_{2 k} - q_{2 k} = (\frac{1}{4})^{k}$

$2$ 回ぶんの操作を考えると、3つの「偶順列」の間の移り方が対称になる。

1回の操作はどちらも「2文字の入れかえ」なので、 $n$ 回後の並びは、もとの並びを $n$ 回入れかえたものである。入れかえ1回で偶奇が変わるので、 $n$ が奇数のときは $ABC$ （入れかえ0回）にも $BCA$ （入れかえ2回）にもなれない。つまり奇数回後に現れるのは $BAC, ACB, CBA$ の3つだけである。

偶数回後に現れるのは $ABC, BCA, CAB$ の3つである。 $2$ 回の操作をまとめて考えると、たとえば $ABC$ からは

表表： $ABC \to BAC \to ABC$
表裏： $ABC \to BAC \to BCA$
裏表： $ABC \to ACB \to CAB$
裏裏： $ABC \to ACB \to ABC$

なので、 $ABC$ のままが $\frac{1}{2}$ 、 $BCA$ と $CAB$ がそれぞれ $\frac{1}{4}$ である。 $BCA$ 、 $CAB$ から始めても同じように調べると、どの状態からも

自分自身に $\frac{1}{2}$ 、ほかの2つにそれぞれ $\frac{1}{4}$

となる。 $a_{k} = p_{2 k}$ 、 $b_{k} = q_{2 k}$ 、 $c_{k}$ を $CAB$ である確率とすると

a_{k + 1} = \frac{1}{2} a_{k} + \frac{1}{4} b_{k} + \frac{1}{4} c_{k}, b_{k + 1} = \frac{1}{4} a_{k} + \frac{1}{2} b_{k} + \frac{1}{4} c_{k}

である。差をとると $c_{k}$ が消えて

a_{k + 1} - b_{k + 1} = \frac{1}{4} (a_{k} - b_{k})

となる。 $k = 0$ のとき（ $0$ 回後） $a_{0} = 1$ 、 $b_{0} = 0$ なので $a_{0} - b_{0} = 1$ である。よって

p_{2 k} - q_{2 k} = a_{k} - b_{k} = (\frac{1}{4})^{k}

である。

$k = 1, \dots, 8$ で全状態を分数のまま追うと、差は $\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \dots$ と一致した。

(2) $n$ を正の整数とするとき $p_{n}$ を求める

答 $n$ が奇数のとき $p_{n} = 0$ 、 $n$ が偶数のとき $p_{n} = \frac{1}{3} (1 + 2^{1 - n})$

(1) の漸化式で $b_{k} + c_{k} = 1 - a_{k}$ を使うと、 $a_{k}$ だけの漸化式になる。

$n$ が奇数のときは (1) で見たとおり $ABC$ にはなれないので $p_{n} = 0$ である。

$n = 2 k$ のときは、 $a_{k} + b_{k} + c_{k} = 1$ を使って

a_{k + 1} = \frac{1}{2} a_{k} + \frac{1}{4} (b_{k} + c_{k}) = \frac{1}{2} a_{k} + \frac{1}{4} (1 - a_{k}) = \frac{1}{4} a_{k} + \frac{1}{4}

である。 $a = \frac{1}{4} a + \frac{1}{4}$ を解くと $a = \frac{1}{3}$ なので

a_{k} - \frac{1}{3} = \frac{1}{4} (a_{k - 1} - \frac{1}{3})

である。 $a_{0} = 1$ より $a_{0} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ だから

a_{k} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{4})^{k}

である。 $n = 2 k$ のとき $(\frac{1}{4})^{k} = 2^{- 2 k} = 2^{- n}$ なので

p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{- n} = \frac{1}{3} (1 + 2^{1 - n})

である。

$n \to \infty$ では $p_{n}$ は偶数番目で $\frac{1}{3}$ に近づく。 $2$ 回ぶんの操作が3つの状態を対称に混ぜるので、行き着く先が $\frac{1}{3}$ ずつになる。

$p_{2} = \frac{1}{2}$ 、 $p_{4} = \frac{3}{8}$ 、 $p_{6} = \frac{11}{32}$ 、 $p_{8} = \frac{43}{128}$ が式と一致し、奇数番目はすべて $0$ だった。

偶奇で答えが変わる。奇数のとき $0$ だと先に言い切ってから、偶数の場合を計算する。

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問題文について

(1)A,B,C を並べた文字列に対し、表なら1文字目と2文字目、裏なら2文字目と3文字目を入れかえる。ABC から始めて n 回後に ABC である確率を pn​、BCA である確率を qn​ とするとき、p2k​−q2k​ を求める

(2)n を正の整数とするとき pn​ を求める

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(1) $A, B, C$ を並べた文字列に対し、表なら1文字目と2文字目、裏なら2文字目と3文字目を入れかえる。 $ABC$ から始めて $n$ 回後に $ABC$ である確率を $p_{n}$ 、 $BCA$ である確率を $q_{n}$ とするとき、 $p_{2 k} - q_{2 k}$ を求める

(2) $n$ を正の整数とするとき $p_{n}$ を求める