第2問 空間ベクトルの解答・解説

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$、$\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とおく。4点が同一平面上にないので、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は1次独立である。すなわち

が成り立つ。内分点を書くと

である（${\mathrm{B}}_0$ は ${\mathrm{OB}}_0:{\mathrm{B}}_0\mathrm{B}=1:2$ なので $\frac{1}{3}\vec{b}$）。

4点が同一平面上にある条件は、実数 $\alpha ,\beta$ を用いて

と書けることである。各ベクトルは

なので、1次独立性から係数を比べて

である。第2式から $\alpha =3\left(1-t\right)$、第3式から $\beta =\frac{t}{s}$（$s>0$）。これを第1式に入れると

であり、整理すると

すなわち

である。$0<s<1$ のとき $2s<s+1$ なので $0<t<1$ をみたしており、条件に合う。

与えられた長さと角から

であり、${\left|\vec{a}\right|}^2=1$、${\left|\vec{b}\right|}^2={\left|\vec{c}\right|}^2=4$ である。

$\angle \mathrm{POQ}=90^{\circ }$ は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=0$ である。展開すると

である。整理すると

なので、条件は

である。(1) の $t=\frac{2s}{s+1}$ を代入し、両辺に $s+1$ を掛けると

すなわち

である。$0<s<1$ より $s=\frac{1}{5}$ である。このとき $t=\frac{2/5}{6/5}=\frac{1}{3}$ で、たしかに $0<t<1$ をみたす。

$\left|\vec{a}\right|=1$、$\left|\vec{b}\right|=\left|\vec{c}\right|=2$ と3つの角が与えられているが、$\vec{b}\cdot \vec{c}=0$ なので $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の項が1つ消え、式がかなり軽くなる。4点が同一平面上にないことは、この長さと角の組でグラム行列式が正になることから確かめられる。