独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問2問・無料

大阪大学　2021年度　前期日程　理系

第1問微分・2次方程式の解答・解説

曲線の接線・2次方程式の2解・3次関数の最大・最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $a, b$ を $ab < 1$ をみたす正の実数とする。点 $P (a, b)$ から曲線 $y = \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）に2本の接線を引き、接点を $Q (s, \frac{1}{s})$ 、 $R (t, \frac{1}{t})$ （ $s < t$ ）とする。 $s$ と $t$ を $a, b$ で表す

答 $s = \frac{1 - 1 - ab}{b}$ 、 $t = \frac{1 + 1 - ab}{b}$

接点の $x$ 座標 $u$ がみたす2次方程式 $b u^{2} - 2 u + a = 0$ を解く。

$y = \frac{1}{x}$ のとき $y^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ なので、 $x = u$ （ $u > 0$ ）における接線は

y = \frac{1}{u} - \frac{1}{u ^{2}} (x - u) = - \frac{x}{u ^{2}} + \frac{2}{u}

である。これが $P (a, b)$ を通る条件は

b = - \frac{a}{u ^{2}} + \frac{2}{u}, b u^{2} - 2 u + a = 0 \dots (*)

である。 $b > 0$ なので $(*)$ は2次方程式で、判別式は

\frac{D}{4} = 1 - ab > 0

である。よって異なる2つの実数解をもつ。解と係数の関係から和は $\frac{2}{b} > 0$ 、積は $\frac{a}{b} > 0$ なので、2解はともに正であり、どちらも接点として使える。したがって2本の接線が引ける。

$(*)$ を解くと

u = \frac{1 \pm 1 - ab}{b}

であり、 $s < t$ だから

s = \frac{1 - 1 - ab}{b}, t = \frac{1 + 1 - ab}{b}

である。

a = 1、b = 1/2 のとき（ab = 1/2 < 1）。点 P から双曲線 y = 1/x に引いた 2 本の接線と、その接点 Q（s = 2 − √2 ≒ 0.586）、R（t = 2 + √2 ≒ 3.414）。

$2$ 万組の $(a, b)$ で、 $s, t$ から作った接線がどちらも $P$ を通った。

$x > 0$ の枝だけを考えるので、2解がともに正であることを言う必要がある。和と積の符号で済む。

$ab < 1$ は「接線が2本引ける」ための条件そのもの（ $D > 0$ ）である。これを導いておくと (2) の確認が楽になる。

(2)点 $P (a, b)$ が曲線 $y = \frac{9}{4} - 3 x^{2}$ 上の $x > 0$ 、 $y > 0$ をみたす部分を動くとき、 $\frac{t}{s}$ の最小値とそのときの $a, b$ の値を求める

答最小値 $3$ 、 $a = \frac{1}{2}$ 、 $b = \frac{3}{2}$

$k = 1 - ab$ とおくと $\frac{t}{s} = \frac{1 + k}{1 - k}$ は $k$ の増加関数。 $k$ を最小にする、つまり $ab$ を最大にする。

(1) より、 $k = 1 - ab$ とおくと $0 < k < 1$ であり

\frac{t}{s} = \frac{1 + k}{1 - k} = \frac{2}{1 - k} - 1

である。 $0 < k < 1$ で $\frac{2}{1 - k}$ は増加関数なので、 $\frac{t}{s}$ は $k$ について増加する。つまり

\frac{t}{s} が最小 ⟺ k が最小 ⟺ ab が最大

である。

$P$ の条件は $a > 0$ かつ $b = \frac{9}{4} - 3 a^{2} > 0$ 、すなわち

0 < a < \frac{3}{2}

である。このとき

g (a) = ab = a (\frac{9}{4} - 3 a^{2}) = \frac{9}{4} a - 3 a^{3}

とおくと

g^{'} (a) = \frac{9}{4} - 9 a^{2} = 9 (\frac{1}{2} - a) (\frac{1}{2} + a)

である。 $0 < a < \frac{3}{2}$ では $\frac{1}{2} + a > 0$ なので、 $g^{'}$ の符号は $\frac{1}{2} - a$ と同じである。よって $g$ は $0 < a < \frac{1}{2}$ で増加、 $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$ で減少し、 $a = \frac{1}{2}$ で最大になる。その値は

g (\frac{1}{2}) = \frac{9}{8} - \frac{3}{8} = \frac{3}{4}

である。 $ab$ の最大値 $\frac{3}{4}$ は $1$ より小さいので、 $P$ はつねに $ab < 1$ をみたし、どの位置でも接線が2本引ける。

このとき

k = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}, \frac{t}{s} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 3

であり、 $b = \frac{9}{4} - 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$ である。よって

\frac{t}{s} の最小値は 3 (a = \frac{1}{2}, b = \frac{3}{2})

である。

ab = (9/4)a - 3a³ のグラフ（0 < a < √3/2 の部分）。a = 1/2 で最大値 3/4 をとる。ab が大きいほど k = √(1-ab) が小さく、t/s も小さくなる。

$40$ 万等分の走査で最小 $3.000000000$ （ $a = 0.4999998$ 、 $b = 1.5000007$ ）だった。

$y > 0$ の条件を落とすと $a$ の範囲が $(0, \infty)$ になり、 $ab$ がいくらでも負に大きくなって最大が取れなくなる。

$\frac{t}{s}$ を $a, b$ の式のまま2変数で扱うと手間が増える。 $ab$ という1つの量だけで決まることに気づくのが要点。

▸ 別解：対称式から

\frac{t}{s}

を直接見る

解と係数の関係より $s + t = \frac{2}{b}$ 、 $s t = \frac{a}{b}$ なので

\frac{( s + t ) ^{2}}{s t} = \frac{4/ b ^{2}}{a / b} = \frac{4}{ab}

である。左辺は $r = \frac{t}{s} > 1$ を使うと $\frac{( s + t ) ^{2}}{s t} = \frac{s}{t} + 2 + \frac{t}{s} = r + \frac{1}{r} + 2$ と書ける。よって

r + \frac{1}{r} + 2 = \frac{4}{ab}

である。 $r > 1$ では $r + \frac{1}{r}$ は $r$ の増加関数なので、 $r$ が最小 $⟺$ $ab$ が最大である。 $ab$ の最大値 $\frac{3}{4}$ を入れると $r + \frac{1}{r} + 2 = \frac{16}{3}$ 、 $3 r^{2} - 10 r + 3 = 0$ 、 $(3 r - 1) (r - 3) = 0$ となり、 $r > 1$ より $r = 3$ である。

2021年度の全5問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる阪大理系数学 2027

阪大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・120ページ・2026年7月27日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)a,b を ab<1 をみたす正の実数とする。点 P(a,b) から曲線 y=x1​（x>0）に2本の接線を引き、接点を Q(s,s1​)、R(t,t1​)（s<t）とする。s と t を a,b で表す

(2)点 P(a,b) が曲線 y=49​−3x2 上の x>0、y>0 をみたす部分を動くとき、st​ の最小値とそのときの a,b の値を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1) $a, b$ を $ab < 1$ をみたす正の実数とする。点 $P (a, b)$ から曲線 $y = \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）に2本の接線を引き、接点を $Q (s, \frac{1}{s})$ 、 $R (t, \frac{1}{t})$ （ $s < t$ ）とする。 $s$ と $t$ を $a, b$ で表す

(2)点 $P (a, b)$ が曲線 $y = \frac{9}{4} - 3 x^{2}$ 上の $x > 0$ 、 $y > 0$ をみたす部分を動くとき、 $\frac{t}{s}$ の最小値とそのときの $a, b$ の値を求める